Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đều có chiều cao \(h\), cạnh bên \(a\) là \(R = \dfrac{{{a^2}}}{{2h}}\).
- Sử dụng định lí Pytago biểu diễn \(a\) theo \(h\).
- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN.Giải chi tiết:
Áp dụng công thức tính nhanh bán kính khối cầu ngoại tiếp khối chóp đều \(S.ABCD\) là \(R = \dfrac{{S{A^2}}}{{2SO}} = 9\)
\( \Rightarrow \dfrac{{S{O^2} + O{A^2}}}{{SO}} = 18 \Rightarrow SO + \dfrac{{O{A^2}}}{{SO}} = 18 \Rightarrow O{A^2} = \left( {18 - SO} \right).SO\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.\dfrac{{A{C^2}}}{2} = \dfrac{2}{3}SO.O{A^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{3}SO.\left( {18 - SO} \right).SO = 12S{O^2} - \dfrac{2}{3}S{O^3}\end{array}\)
Đặt \(SO = t\,\,\left( {0 < t < 18} \right)\), xét hàm số \(f\left( t \right) = 12{t^2} - \dfrac{2}{3}{t^3}\) ta có \(f'\left( t \right) = 24t - 2{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 12\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).
BBT:
\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0;18} \right)} f\left( t \right) = f\left( {12} \right) = 576\).
Vậy \({\left( {{V_{S.ABCD}}} \right)_{\max }} = 576\).
Chọn A
