$AB$ là tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$
`=>AB`$\perp OB$
`=>∆ABO` vuông tại $B$
$AB;AC$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ cắt nhau tại $A$
`=>AB=AC`
Mà $OB=OC$ (bán kính của $(O)$)
`=>AO` là đường trung trực của $BC$
`=>AO`$\perp BC$ tại trung điểm $H$ của $BC$
`=>BH=CH`
`\qquad BH` là đường cao $∆ABO$ vuông tại $B$
`=>BH^2=AH.OH` (hệ thức lượng trong ∆vuông)
`=>BH.CH=AH.OH` $(1)$
Xét $∆BEH$ và $∆FCH$ có:
`\hat{BHE}=\hat{FHC}` (đối đỉnh)
`\hat{EBH}=\hat{CFH}` $($góc nội tiếp cùng chắn cung $EC)$
`=>∆BEH∽∆FCH(g-g)`
`=>{BH}/{FH}={EH}/{CH}`
`=>BH.CH=EH.FH` $(2)$
Từ `(1);(2)=>AH.OH=EH.FH`
`=>{AH}/{FH}={EH}/{OH}`
Xét $∆AEH$ và $∆FOH$ có:
`\hat{AHE}=\hat{FHO}` (đối đỉnh)
`{AH}/{FH}={EH}/{OH}` (c/m trên)
`=>∆AEH∽∆FOH(g-g)`
`=>\hat{EAH}=\hat{OFH}`
`=>\hat{EAO}=\hat{OFE}` $(3)$
Tứ giác $AEOF$ có $2$ đỉnh $A;F$ cùng nhìn cạnh $OE$ dưới hai góc bằng nhau
`=>AEOF` nội tiếp.
`=>\hat{OAF}=\hat{OEF}` $(4)$
(góc nội tiếp cùng chắn cung $OF$)
Xét $∆OEF$ có $OE=OF$ (bán kính của $(O)$)
`=>∆OEF` cân tại $O$
`=>\hat{OEF}=\hat{OFE}` $(5)$
Từ `(3);(4);(5)=>\hat{EAO}=\hat{OAF}`
`=>AO` là tia phân giác của `\hat{EAF}` (đpcm)
