Xét $∆ABM$ và $∆ANB$ có:
`\hat{A}` chung
`\hat{ABM}=\hat{ANB}` (cùng chắn cung $BM$)
`=>∆ABM∽∆ANB` (g-g)
`=>{AB}/{AN}={AM}/{AB}`
`=>AB^2=AM.AN` $(1)$
$\\$
$AB;AC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A$ của $(O)$
`=>AB=AC`
Mà $OB=OC$ =bán kính của $(O)$
`=>OA` là đường trung trực của $BC$
`=>OA`$\perp BC$ tại trung điểm $I$ của $BC$
`=>BI`$\perp OA$
$AB$ là tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$
`=>∆ABO` vuông tại $B$
`=>AB^2=AI.AO` $(2)$
(hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Từ `(1);(2)=>AM.AN=AI.AO`
`=>{AM}/{AO}={AI}/{AN}`
Xét $∆AMI$ và $∆AON$ có:
`\hat{A}` chung
`{AM}/{AO}={AI}/{AN}`
`=>∆AMI∽∆AON(c-g-c)`
`=>\hat{AIM}=\hat{ANO}`
`=>` Tứ giác $MNOI$ nội tiếp
`=>\hat{MNI}=\hat{MOI}` (cùng chắn cung $MI$)
$\\$
Gọi $E$ là giao điểm của $OA$ và $(O)$
Vì $OA$ là đường trung trực của $BC$
`=>BE=CE`
`=>\stackrel\frown{BE}=\stackrel\frown{CE}` (liên hệ giữa dây và cung)
Ta có:
`\hat{ANB}=1/ 2 sđ \stackrel\frown{BM}` (góc nội tiếp chắn cung $BM$)
`\hat{MNI}=\hat{MOI}=sđ\stackrel\frown{ME}` (góc ở tâm chắn cung $ME$)
`=>\hat{ANB}+\hat{MNI}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BM}+sđ\stackrel\frown{ME}`
`=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BM}+1/ 2 sđ\stackrel\frown{ME}+1/ 2 sđ\stackrel\frown{ME}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BE}+1/ 2 sđ\stackrel\frown{ME}`
`=1/ 2 sđ\stackrel\frown{CE}+1/ 2 sđ\stackrel\frown{ME}=1/ 2sđ\stackrel\frown{CM}`
Ta lại có:
`\hat{INC}+\hat{MNI}=\hat{MNC}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{CM}`
`=>\hat{ANB}+\hat{MNI}=\hat{INC}+\hat{MNI}`
`=>\hat{ANB}=\hat{INC}` (đpcm)
