Xét hàm số $f(x)$ trên $(a;b)$ như hình.
Ta có: $\min\limits_{(a;b)}f(x)=f(x_2); \max\limits_{(a;b)}f(x)=f(x_1)$
• $m\le f(x)\quad\forall x\in (a;b)$:
Có $f(x_2)\le f(x)\quad\forall x\in (a;b)$ do là GTNN
Khi $m<f(x_1)$, dễ thấy $m<f(x)\quad\forall x\in(a;b)$ ($y=m$ ở vị trí thấp hơn $y=f(x)$ với mọi $x\in (a;b)$)
Do đó điều kiện là: $m\le f(x_2)$
• $m\le f(x)$ có nghiệm trên $(a;b)$
+ $m=f(x)$ có nghiệm trên $(a;b)$: $f(x_2)\le m\le f(x_1)$
+ $m<f(x)$ có nghiệm trên $(a;b)$: $y=m$ thấp hơn $y=f(x)$ khi $x\in J\subset (a;b)$
$\to m<f(x_1)$
Lấy hợp hai kết quả: $m\le f(x_1)$
