I. Phương pháp dự đoán và quy nạp:
Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn
${{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}$ (1)
Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán, hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minh được.
Ví dụ 1: Tính tổng Sn =1+3+5 +… + (2n -1)
Thử trực tiếp ta thấy : S1 = 1
S2 = 1 + 3 =22
S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32
… … …
Ta dự đoán Sn = n2
Với n = 1; 2; 3 ta thấy kết quả đúng
Giả sử với n = k (k 1) ta có Sk = k 2 (2)
Ta cần phải chứng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 (3)
Thật vậy cộng 2 vế của (2) với 2k +1 ta có
1+3+5 +… + (2k – 1) + (2k +1) = k2 + (2k +1)
Vì k2 + (2k +1) = (k +1) 2 nên ta có (3) tức là Sk+1 = ( k +1) 2
Theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh
Vậy Sn = 1+3 + 5 + … + ( 2n -1) = n2
Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán học.
1) $1+2+3+...+n=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}$
2) ${{1}^{2}}+{{2}^{2}}+...+{{n}^{2}}=\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}$
3) ${{1}^{3}}+{{2}^{3}}+...+{{n}^{3}}={{\left[ \frac{n\left( n+1 \right)}{2} \right]}^{2}}$
4) ${{1}^{5}}+{{2}^{5}}+...+{{n}^{5}}=\frac{1}{12}.{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}\left( 2{{n}^{2}}+2n-1 \right)$
II. Phương pháp khử liên tiếp:
Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn ${{a}_{i}},i=1,2,3...,n$, qua hiệu hai số hạng liên tiếp 1 dãy số khác, chính xác hơn, giả sử:
${{a}_{1}}={{b}_{1}}-{{b}_{2}}$
${{a}_{2}}={{b}_{2}}-{{b}_{3}}$
… … …
${{a}_{n}}={{b}_{n}}-{{b}_{n+1}}$
Khi đó ta có ngay:
${{s}_{n}}=\left( {{b}_{1}}-{{b}_{2}} \right)+\left( {{b}_{2}}-{{b}_{3}} \right)+....+\left( {{b}_{n}}-{{b}_{n+1}} \right)$
$={{b}_{1}}-{{b}_{n+1}}$
Ví dụ 2: Tính tổng:
$S=\frac{1}{10.11}+\frac{1}{11.12}+\frac{1}{12.13}+...+\frac{1}{99.100}$
Ta có: $\frac{1}{10.11}=\frac{1}{10}-\frac{1}{11},\frac{1}{11.12}=\frac{1}{11}-\frac{1}{12},...,\frac{1}{99.100}=\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$
Do đó:
$S=\frac{1}{10}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{12}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=\frac{1}{10}-\frac{1}{100}=\frac{9}{100}$
- Dạng tổng quát
${{S}_{n}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left( n+1 \right)}\,\,\left( n>1 \right)$
$=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$
Ví dụ 3: Tính tổng
${{S}_{n}}=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}$
Ta có ${{S}_{n}}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3} \right)+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4} \right)+...+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{n\left( n+1 \right)}-\frac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)} \right)$
${{S}_{n}}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left( n+1 \right)}-\frac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)} \right)$
${{S}_{n}}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{1.2}-\frac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)} \right)=\frac{n\left( n+3 \right)}{4\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}$
Ví dụ 4: Tính tổng
${{S}_{n}}=1!+2.2!+3.3!+....+n.n!\,$ $\left( n!=1.2.3...n \right)$
Ta có: $1!=2!-1!$
$2.2!=3!-2!$
$3.3!=4!-3!$
…. …. ….
$n.n!=\left( n+1 \right)-n!$
Vậy ${{S}_{n}}=2!-1!+3!-2!+4!-3!+....+\left( n+1 \right)!-n!$
$=\left( n+1 \right)!-1!=\left( n+1 \right)!-1$
Ví dụ 5: Tính tổng
${{S}_{n}}=\frac{3}{{{\left( 1.2 \right)}^{2}}}+\frac{5}{{{\left( 2.3 \right)}^{2}}}+....+\frac{2n+1}{{{\left[ n\left( n+1 \right) \right]}^{2}}}$
Ta có: $\frac{2i+1}{{{\left[ i\left( i+1 \right) \right]}^{2}}}=\frac{1}{{{i}^{2}}}-\frac{1}{{{\left( i+1 \right)}^{2}}};$ $i=1;2;3;...;n$
Do đó ${{S}_{n}}=\left( 1-\frac{1}{{{2}^{2}}} \right)+\left( \frac{1}{{{2}^{2}}}-\frac{1}{{{3}^{2}}} \right)+....+\left( \frac{1}{{{n}^{2}}}-\frac{1}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}} \right)$
$=1-\frac{1}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}=\frac{n\left( n+2 \right)}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}$
III. Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính:
Ví dụ 6: Tính tổng
$S=1+2+{{2}^{2}}+....+{{2}^{100}}$ (4)
Ta viết lại S như sau:
$S=1+2\left( 1+2+{{2}^{2}}+....+{{2}^{99}} \right)$
$S=1+2\left( 1+2+{{2}^{2}}+....+{{2}^{99}}+{{2}^{100}}-{{2}^{100}} \right)$
$\Rightarrow S=1+2\left( S-{{2}^{100}} \right)$ (5)
Từ (5) suy ra $S=1+2S-{{2}^{101}}$
$\Rightarrow S={{2}^{101}}-1$
Ví dụ 7: Tính tổng
${{S}_{n}}=1+p+{{p}^{2}}+{{p}^{3}}+....+{{p}^{n}}\,\left( p\ne 1 \right)$
Ta viết lại ${{S}_{n}}$ dưới dạng sau:
${{S}_{n}}=1+p\left( 1+p+{{p}^{2}}+....+{{p}^{n-1}} \right)$
${{S}_{n}}=1+p\left( 1+p+{{p}^{2}}+....+{{p}^{n-1}}+{{p}^{n}}-{{p}^{n}} \right)$
$\Rightarrow {{S}_{n}}=1+p\left( {{S}_{n}}-{{p}_{n}} \right)$
$\Rightarrow {{S}_{n}}=1+p.{{S}_{n}}-{{p}^{n+1}}$
$\Rightarrow {{S}_{n}}\left( p-1 \right)={{p}^{n+1}}-1$
$\Rightarrow {{S}_{n}}=\frac{{{p}^{n+1}}-1}{p-1}$
Ví dụ 8: Tính tổng
${{S}_{n}}=1+2p+3{{p}^{2}}+....+\left( n+1 \right){{p}^{n}},\,\left( p\ne 1 \right)$
Ta có: $p.{{S}_{n}}=p+2{{p}^{2}}+3{{p}^{3}}+....+\left( n+1 \right){{p}^{n+1}}$
$=2p-p+3{{p}^{2}}-{{p}^{2}}+4{{p}^{3}}-{{p}^{3}}+....+\left( n+1 \right){{p}^{n}}-{{p}^{n}}+\left( n+1 \right){{p}^{n}}-{{p}^{n}}+\left( n+1 \right){{p}^{n+1}}$
$=\left( 2p+3{{p}^{2}}+4{{p}^{3}}+....+\left( n+1 \right){{p}^{n}} \right)-\left( p+p+p+...{{p}^{n}} \right)+\left( n+1 \right){{p}^{n+1}}$
$=\left( 1+2p+3{{p}^{2}}+4{{p}^{3}}+....+\left( n+1 \right){{p}^{n}} \right)-\left( 1+p+{{p}^{2}}+....+{{p}^{n}} \right)+\left( n+1 \right){{p}^{n+1}}$
$p.{{S}_{n}}={{S}_{n}}-\frac{{{P}^{n+1}}-1}{P-1}+\left( n+1 \right){{P}^{n+1}}$ (theo VD7)
Lại có $\left( p-1 \right){{S}_{n}}=\left( n+1 \right){{p}^{n+1}}-\frac{{{p}^{n+1}}-1}{P-1}$
$\Rightarrow {{S}_{n}}=\frac{\left( n+1 \right){{p}^{n+1}}}{p-1}-\frac{{{p}^{n+1}}-1}{{{\left( P-1 \right)}^{2}}}$
IV. Phương pháp tính qua các tổng đã biết
- Các kí hiệu: $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{n}}}$
- Các tính chất:
- $\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( {{a}_{i}}+{{b}_{i}} \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{b}_{i}}}}}$
- $\sum\limits_{i=1}^{n}{a.{{a}_{i}}=a\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}}}$
Ví dụ 9: Tính tổng:
${{S}_{n}}=1.2+2.3+3.4+....+n\left( n+1 \right)$
Ta có: ${{S}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{i\left( i+1 \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( {{i}^{2}}+i \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{i}^{2}}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{i}}}$
Vì:
$\sum\limits_{i=1}^{n}{i=1+2+3+...+n}=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}$ (Theo I)
$\sum\limits_{i=1}^{n}{{{i}^{2}}}=\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}$
cho nên: ${{S}_{n}}=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}+\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}=\frac{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}{3}$
Ví dụ 10: Tính tổng:
${{S}_{n}}={{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{5}^{3}}+...+{{\left( 2n+1 \right)}^{3}}$
Ta có:
${{s}_{n}}=\left[ {{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+{{4}^{3}}+...+{{\left( 2n+1 \right)}^{3}} \right]-\left[ {{2}^{3}}+{{4}^{3}}+{{6}^{3}}+...+{{\left( 2n \right)}^{3}} \right]$
$=\left[ {{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+{{4}^{3}}+...+{{\left( 2n+1 \right)}^{3}} \right]-8\left( {{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+{{4}^{3}}+...+{{n}^{3}} \right)$
${{S}_{n}}=\frac{{{\left( 2n+1 \right)}^{2}}{{\left( 2n+2 \right)}^{2}}}{4}-\frac{8{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{4}$ (theo (I)-3)
$={{\left( n+1 \right)}^{2}}{{\left( 2n+1 \right)}^{2}}-2{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}$
$={{\left( n+1 \right)}^{2}}\left( 2{{n}^{2}}+4n+1 \right)$
V. Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều (Học sinh lớp 6)
* Cơ sở lý thuyết:
+ Để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị, ta dùng công thức:
Số số hạng =(số cuối – số đầu) : (khoảng cách) + 1
+ Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 1 số đơn vị, ta dùng công thức:
Tổng = (số đầu – số cuối).(số số hạng) : 2
Ví dụ 12:
Tính tổng $A=19+20+21+...+132$
Số số hạng của A là: $\left( 132-19 \right):1+1=114$ (số hạng)m
$A=114\left( 132+19 \right):2=8607$
Ví dụ 13: Tính tổng:
$B=1+5+9+....+2005+2009$
Số số hạng của B là $\left( 2009-1 \right):4+1=503$
$B\left( 2009+1 \right).503:2=505515$
Ví dụ 14: Chứng minh rằng: $k\left( k+1 \right)\left( k+20-9k-1 \right)k\left( k+1 \right)=3k\left( k+1 \right)$
Từ đó tính tổng $S=1.2+2.3+3.4+....+n\left( n+1 \right)$
Chứng minh:
* Cách 1: $VT=k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)-\left( k-1 \right)k\left( k+1 \right)$
$=k\left( k+1 \right)\left[ \left( k+2 \right)-\left( k-1 \right) \right]=k\left( k+1 \right).3=3k\left( k+1 \right)$
* Cách 2: Ta có $k\left( k+1 \right)=k\left( k+1 \right).\frac{\left( k+2 \right)-\left( k-1 \right)}{3}$
$=\frac{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}{3}-\frac{k\left( k+1 \right)\left( k-1 \right)}{3}$ (*)
$\Rightarrow 3k\left( k-1 \right)=k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)-\left( k-1 \right)k\left( k+1 \right)$
$\Rightarrow 1.2=\frac{1.2.3}{3}-\frac{0.1.2}{3}$
$2.3=\frac{2.3.4}{3}-\frac{1.2.3}{3}$
………………………….
$n\left( n+1 \right)=\frac{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}{3}-\frac{\left( n-1 \right)n\left( n+1 \right)}{3}$
$S=\frac{-1.2.0}{3}+\frac{\left( n+2 \right)n\left( n+1 \right)}{3}=\frac{\left( n+1 \right)n\left( n+2 \right)}{3}$
Ví dụ 15: Chứng minh rằng:
$k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)-\left( k-1 \right)k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)=4k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)$
Từ đó tính tổng $S=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)$
Chứng minh: $VT=k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left[ \left( k+3 \right)-\left( k-1 \right) \right]$
$=k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right).4$
Rút ra: $k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)=\frac{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)}{4}-\frac{\left( k-1 \right)k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}{4}$
Áp dụng: $1.2.3=\frac{1.2.3.4}{4}-\frac{0.1.2.3}{4}$
$2.3.4=\frac{2.3.4.5}{4}-\frac{1.2.3.4}{4}$
……………………………………….
$n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)=\frac{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}{4}-\frac{\left( n-1 \right)n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}{4}$
Cộng vế với vế ta được $S=\frac{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}{4}$
Bài tập đề nghị:
Tính các tổng sau
1) $B=2+6+10+14+...+202$
2) a. $A=1+2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+...+{{2}^{6.2}}+{{2}^{6.3}}$
b. $S=5+{{5}^{2}}+{{5}^{3}}+...+{{5}^{99}}+{{5}^{100}}$
c. $C=7+10+13+...+76$
3) $D=49+64+81+...+169$
4) $S=1.4+2.5+3.6+4.7+...+n\left( n+3 \right)$, $n=1,2,3,...$
5) $S=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}$
6) $S=\frac{4}{5.7}+\frac{4}{7.9}+...+\frac{4}{59.61}$
7) $A=\frac{5}{11.16}+\frac{5}{16.21}+\frac{5}{21.26}+...+\frac{5}{61.66}$
8) $M=\frac{1}{{{3}^{0}}}+\frac{1}{{{3}^{1}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+...+\frac{1}{{{3}^{2005}}}$
9) ${{S}_{n}}=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}$
10) ${{S}_{n}}=\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+...+\frac{2}{98.99.100}$
11) ${{S}_{n}}=\frac{1}{1.2.3.4}+\frac{1}{2.3.4.5}+...+\frac{1}{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}$
12) $M=9+99+999+...+99.....9$ (+50 chữ số 9)
13) Cho: ${{S}_{1}}=1+2$ ${{S}_{3}}=6+7+8+9$
${{S}_{2}}=3+4+5$ ${{S}_{4}}=10+11+12+13+14$
Tính ${{S}_{100}}=?$
* Các dạng toán có liên quan đến dạng tính tổng, chẳng hạn dạng toán tìm x:
14) a, $\left( x+1 \right)+\left( x+2 \right)+\left( x+3 \right)+....+\left( x+100 \right)=5070$
b, $1+2+3+4+...+x=820$
c, $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+...+\frac{2}{x\left( x+1 \right)}=1\frac{2013}{2015}$
Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan
15) Chứng minh:
a, $A=4+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+...+{{2}^{20}}$ là lũy thừa của 3
b, $B=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+...+{{2}^{60}}\vdots 3;7;15$
c, $C=3+{{3}^{3}}+{{3}^{5}}+...+{{3}^{2015}}\vdots 13;41$
d, $D={{11}^{9}}+{{11}^{8}}+{{11}^{7}}+...+11+1\vdots 5$
