Cường độ điện trường tại một điểm do một hệ điện tích điểm gây ra

I, Kiến thức cần nhớ

- Xác định Véctơ cường độ điện trường: \[\overrightarrow{{{E}_{1}}}\], \[\overrightarrow{{{E}_{2}}}\] ,… của mỗi điện tích điểm gây ra tại điểm mà bài toán yêu cầu. (Đặc biệt chú ý tới phương, chiều)

- Điện trường tổng hợp: \[\overrightarrow{E}=\overrightarrow{{{E}_{1}}}+\overrightarrow{{{E}_{2}}}+...\]

- Dùng quy tắc hình bình hành để tìm cường độ điện trường tổng hợp ( phương, chiều và độ lớn) hoặc dùng phương pháp chiếu lên hệ trục toạ độ vuông góc Oxy

Xét trường hợp chỉ có hai Điện trường: \[\overrightarrow{E}=\overrightarrow{{{E}_{1}}}+\overrightarrow{{{E}_{2}}}\]

1, Khi \[\overrightarrow{{{E}_{1}}}\] cùng hướng với \[\overrightarrow{{{E}_{2}}}\]:

\[\overrightarrow{E}\] cùng hướng với \[\overrightarrow{{{E}_{1}}}\], \[\overrightarrow{{{E}_{2}}}\]: \[\Rightarrow \] \[\]

2, Khi \[\overrightarrow{{{E}_{1}}}\] ngược hướng với \[\overrightarrow{{{E}_{2}}}\]

3, Khi \[\overrightarrow{{{E}_{1}}}\] \[\bot \] \[\overrightarrow{{{E}_{2}}}\]

4, Khi \[{{E}_{1}}={{E}_{2}}\] và \[\left( \overrightarrow{{{E}_{1}}},\overrightarrow{{{E}_{2}}} \right)=\alpha \]

5, Trường hợp góc bất kì áp dụng định lý hàm số cosin.

- Nếu đề bài đòi hỏi xác định lực điện trường tác dụng lên điện tích thì áp dụng công thức: \[\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}\]

II, Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Hai điện tích \[{{q}_{1}}={{q}_{2}}=q\] giống nhau được đặt tại A và B cách nhau đoạn r trong không khí. Độ lớn cường độ điện trường tại trung điểm M của AB bằng

A. \[2k\frac{{{q}^{2}}}{{{r}^{2}}}\] B. \[2k\frac{\left| q \right|}{{{r}^{2}}}\] C. \[2k\frac{\left| q \right|}{r}\] D. 0

Hướng dẫn

\[{{q}_{1}}\] và \[{{q}_{2}}\]cùng dấu , do đó \[\overrightarrow{{{E}_{1}}}\] và \[\overrightarrow{{{E}_{2}}}\] ngược chiều và có độ lớn \[{{E}_{1}}={{E}_{2}}\]

\[\Rightarrow {{E}_{M}}={{E}_{1}}-{{E}_{2}}=0\]

Chọn đáp án D

Ví dụ 2 : Hai điện tích \[{{q}_{1}}=-{{q}_{2}}=q\] giống nhau được đặt tại A và B cách nhau đoạn r trong không khí. Độ lớn cường độ điện trường tại trung điểm M của AB bằng

A. \[8k\frac{\left| q \right|}{{{r}^{2}}}\] B. \[2k\frac{\left| q \right|}{{{r}^{2}}}\] C. \[4k\frac{\left| q \right|}{{{r}^{2}}}\] D. 0

Hướng dẫn

\[{{q}_{1}}\] và \[{{q}_{2}}\] trái dấu, do đó \[\overrightarrow{{{E}_{1}}}\] và \[\overrightarrow{{{E}_{2}}}\] cùng chiều và có độ lớn \[{{E}_{1}}={{E}_{2}}=4k\frac{\left| q \right|}{{{r}^{2}}}\]

\[\Rightarrow {{E}_{M}}={{E}_{1}}+{{E}_{2}}=8k\frac{\left| q \right|}{{{r}^{2}}}\]

Chọn đáp án A

Ví dụ 3 : Hai điện tích \[{{q}_{1}}=-{{10}^{-6}}C,{{q}_{2}}={{10}^{-6}}C\] đặt tại hai điểm A, B cách nhau 40 cm trong không khí. Cường độ điện trường tổng hợp tại trung điểm M của AB là

A. \[4,{{5.10}^{6}}V/m\] B. 0 C. \[2,{{25.10}^{5}}V/m\] D. \[4,{{5.10}^{5}}V/m\]

Hướng dẫn

\[{{E}_{M}}={{E}_{1}}+{{E}_{2}}=8k\frac{\left| q \right|}{{{r}^{2}}}=4,{{5.10}^{5}}V/m\]

Chọn đáp án D

Ví dụ 4 : Hai điện tích \[{{q}_{1}}=-{{10}^{-6}}C,{{q}_{2}}={{10}^{-6}}C\] đặt tại hai điểm A, B cách nhau 40 cm trong chân không. Cường độ điện trường tổng hợp tại điểm N cách A 20 cm và cách B 60 cm có độ lớn là?

A. \[{{10}^{5}}V/m\] B. \[0,{{5.10}^{5}}V/m\] C.\[{{2.10}^{5}}V/m\] D. \[2,{{5.10}^{5}}V/m\]

Hướng dẫn

\[{{E}_{1}}=k\frac{\left| {{q}_{1}} \right|}{N{{A}^{2}}}=2,{{25.10}^{5}}V/m\]và \[{{E}_{2}}=k\frac{\left| {{q}_{2}} \right|}{N{{B}^{2}}}=0,{{25.10}^{5}}V/m\]

\[\Rightarrow {{E}_{N}}={{E}_{1}}-{{E}_{2}}={{2.10}^{5}}V/m\]

Chọn đáp án C

Ví dụ 5 : Hai điện tích điểm \[{{q}_{1}}=4\mu C,{{q}_{2}}=-9\mu C\] đặt tại hai điểm A và B cách nhau 9 cm trong chân không. Điểm M có cường độ điện trường tổng hợp bằng không cách B một khoảng

A. 18 cm. B. 9 cm. C. 27 cm. D. 4,5 cm.

Hướng dẫn

Khi \[{{q}_{1}}\] và \[{{q}_{2}}\] trái dấu thì điểm M có điện trường tổng hợp bằng 0 nằm ngoài đoạn AB và gần điện tích có độ lớn bé hơn (\[{{q}_{1}}\]đặt tại A) và: \[MA=\frac{AB}{\sqrt{\left| \frac{{{q}_{2}}}{{{q}_{1}}} \right|}-1}\text{=18 cm }\to \text{ MB = 27 cm}\]

Chọn đáp án C

Ví dụ 6 : Hai điện tích \[{{q}_{1}}={{q}_{2}}={{5.10}^{-16}}C\] , đặt tại hai đỉnh B và C của một tam giác đều ABC cạnh bằng 8 cm trong không khí. Cường độ điện trường tại đỉnh A của tam giác ABC có độ lớn bằng

A. \[1,{{2178.10}^{-3}}V/m\] B. \[0,{{6089.10}^{-3}}V/m\] C. \[0,{{3515.10}^{-3}}V/m\] D. \[0,{{7031.10}^{-3}}V/m\]

Hướng dẫn

\[\overrightarrow{{{E}_{1}}}\] và \[\overrightarrow{{{E}_{2}}}\] hợp nhau góc \[{{60}^{o}}\] và có độ lớn \[{{E}_{1}}={{E}_{2}}=k\frac{\left| q \right|}{{{a}^{2}}}=7,{{03125.10}^{-4}}V/m\]

\[\to {{\text{E}}_{A}}=2{{E}_{1}}\cos {{30}^{o}}={{E}_{1}}\sqrt{3}\approx 1,{{2178.10}^{-3}}V/m\]

Chọn đáp án A

Ví dụ 7 : Hai điện tích \[{{q}_{1}}={{5.10}^{-9}}C,{{q}_{2}}=-{{5.10}^{-9}}C\] đặt tại hai điểm cách nhau 10 cm trong chân không. Độ lớn cường độ điện trường tại điểm nằm trên đường thẳng đi qua hai điện tích và cách đều hai điện tích là:

A. 18000 V/m. B. 36000 V/m. C. 1,800 V/m. D. 0.

Hướng dẫn

\[{{E}_{M}}=8k\frac{\left| q \right|}{{{r}^{2}}}=36000V/m\]

Chọn đáp án B

Ví dụ 8 : Hai điện tích \[{{q}_{1}}={{5.10}^{-16}}C,{{q}_{2}}=-{{5.10}^{-16}}C\] , đặt tại hai đỉnh B và C của một tam giác đều ABC cạnh bằng 8 cm trong không khí. Cường độ điện trường tại đỉnh A của tam giác ABC có độ lớn là:

A. \[1,{{2178.10}^{-3}}V/m\] B. \[0,{{6089.10}^{-3}}V/m\] C. \[0,{{3515.10}^{-3}}V/m\] D. \[0,{{7031.10}^{-3}}V/m\]

Hướng dẫn

\[\overrightarrow{{{E}_{1}}}\] và \[\overrightarrow{{{E}_{2}}}\] hợp nhau góc \[{{120}^{o}}\] và có độ lớn \[{{E}_{1}}={{E}_{2}}=k\frac{\left| q \right|}{{{a}^{2}}}=7,{{03125.10}^{-4}}V/m\]

\[\to {{\text{E}}_{A}}=2{{E}_{1}}\cos {{60}^{o}}={{E}_{1}}=7,{{03125.10}^{-4}}V/m\]

Chọn đáp án D

Ví dụ 9 : Hai điện tích \[{{q}_{1}}={{5.10}^{-9}}C,{{q}_{2}}=-{{5.10}^{-9}}C\] đặt tại hai điểm cách nhau 10 cm trong chân không. Độ lớn cường độ điện trường tại điểm nằm trên đường thẳng đi qua hai điện tích và cách \[{{q}_{1}}=5cm\]và \[{{q}_{2}}=15cm\]là?

A. 16000 V/m. B. 20000 V/m. C. 1,6 V/m. D. 2 V/m

Hướng dẫn

\[{{E}_{1}}=k\frac{\left| {{q}_{1}} \right|}{N{{A}^{2}}}=18000V/m\] và \[{{E}_{2}}=k\frac{\left| {{q}_{2}} \right|}{N{{B}^{2}}}=2000V/m\]

\[\Rightarrow {{E}_{N}}={{E}_{1}}-{{E}_{2}}=16000V/m\]

Chọn đáp án A

Ví dụ 10 : Hai điện tích \[{{q}_{1}}={{10}^{-7}}C,{{q}_{2}}=-{{10}^{-7}}C\] , đặt tại hai đỉnh B và C của một tam giác đều ABC cạnh bằng 10 cm trong không khí. Cường độ điện trường tại đỉnh A của tam giác ABC có độ lớn là

A. \[{{18.10}^{4}}V/m\] B. \[9\sqrt{3}{{.10}^{4}}V/m\] C. \[{{9.10}^{4}}V/m\] D. 0

Hướng dẫn

Tương tự câu 8 ta có : \[{{\text{E}}_{A}}=2{{E}_{1}}\cos {{60}^{o}}={{E}_{1}}=k\frac{\left| q \right|}{{{a}^{2}}}={{9.10}^{4}}V/m\]

Chọn đáp án C

Ví dụ 11: Tại hai điểm A, B trong không khí lần lượt đặt hai điện tích điểm \[{{q}_{A}}={{q}_{B}}={{3.10}^{-7}}C\] , AB = 12 cm. M là một điểm nằm trên đường trung trực của AB, cách đoạn AB 8 cm. Vecto cường độ điện trường tổng hợp do \[{{q}_{A}}\] và \[{{q}_{B}}\] gây ra tại M có độ lớn

A. bằng \[3,{{24.10}^{5}}V/m\] và có phương vuông góc với AB.

B. bằng \[4,{{32.10}^{5}}V/m\] và có phương vuông góc với AB.

C. bằng \[3,{{24.10}^{5}}V/m\] và có phương song song với AB.

D. . bằng \[4,{{32.10}^{5}}V/m\] và có phương song song với AB.

Hướng dẫn

▪ Ta có: MA = MB = a = 10 cm.

\[\overrightarrow{{{E}_{1}}}\] và \[\overrightarrow{{{E}_{2}}}\] hợp nhau góc AMB và có độ lớn : \[{{E}_{1}}={{E}_{2}}=k\frac{\left| q \right|}{{{a}^{2}}}=2,{{7.10}^{5}}V/m\]

\[\to {{\text{E}}_{A}}=2{{E}_{1}}\cos AMH=2{{E}_{1}}\frac{MH}{AB}=4,{{32.10}^{5}}V/m\]

Chọn đáp án B

Ví dụ 12: Hai điện tích \[{{q}_{1}}=3q\] và \[{{q}_{2}}=27q\] đặt cố định tại 2 điểm A, B trong không khí với AB = a. Tại điểm M có cường độ điện trường tổng hợp bằng 0. Điểm M

A. nằm trên đoạn thẳng AB với MA = 0,25a.

B. nằm trên đoạn thẳng AB với MA = 0,5a.

C. nằm ngoài đoạn thẳng AB với MA = 0,25a.

D. nằm ngoài đoạn thẳng AB với MA = 0,5a.

Hướng dẫn

Khi \[{{q}_{1}}\] và \[{{q}_{2}}\] cùng dấu thì điểm M có điện trường tổng hợp bằng 0 nằm trong đoạn AB và cách điện tích \[{{q}_{1}}\] :\[MA=\frac{a}{\sqrt{\left| \frac{{{q}_{2}}}{{{q}_{1}}} \right|}+1}\text{=0,25a}\]

Chọn đáp án A

Ví dụ 13 : Tại 3 đỉnh của tam giác vuông ABC tại A (AB = 30 cm; AC = 40 cm) có 3 điện tích dương bằng nhau có giá trị \[q={{6.10}^{-6}}C\] . Cường độ điện trường tại chân H của đường cao AH hạ từ đỉnh của góc vuông A xuống cạnh huyền BC có độ lớn là

A. \[1,{{67.10}^{6}}V/m\] B. \[5,{{27.10}^{6}}V/m\] C. \[2,{{1.10}^{6}}V/m\] D. \[1,{{48.10}^{6}}V/m\]

Hướng dẫn

▪ BC = 50 cm, AH = 24 cm, \[BH=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{H}^{2}}}=18cm\], CH = 32 cm

\[\overrightarrow{{{E}_{H}}}=\overrightarrow{{{E}_{A}}}+\overrightarrow{{{E}_{B}}}+\overrightarrow{{{E}_{C}}}=\left( \overrightarrow{{{E}_{B}}}+\overrightarrow{{{E}_{C}}} \right)+\overrightarrow{{{E}_{A}}}=\overrightarrow{{{E}_{BC}}}+\overrightarrow{{{E}_{A}}}\]

\[\overrightarrow{{{E}_{BC}}}\] có độ lớn: \[{{E}_{BC}}={{E}_{B}}-{{E}_{C}}\approx 1,{{14.10}^{6}}V/m\]và có chiều hướng về C

\[\to {{E}_{H}}=\sqrt{E_{BC}^{2}+E_{A}^{2}}\approx 1,{{475.10}^{6}}V/m\]

Chọn đáp án D

Ví dụ 14: Tại hai điểm MP (đối diện nhau) của hình vuông MNPQ cạnh a đặt hai điện tích điểm \[{{q}_{M}}={{q}_{P}}=-{{3.10}^{-6}}C\] . Phải đặt tại Q một điện tích q bằng bao nhiêu để điện trường gây bởi hệ ba điện tích này tại N triệt tiêu?

A. \[6\sqrt{2}{{.10}^{-6}}C\] B. \[-6\sqrt{2}{{.10}^{-6}}C\] C.\[{{6.10}^{-6}}C\] D.\[-{{6.10}^{-6}}C\]

Hướng dẫn

\[{{q}^{'}}=-2q\sqrt{2}=6\sqrt{2}{{.10}^{-6}}C\]

Chọn đáp án B

Ví dụ 15: Ba điện tích \[{{q}_{1}}={{q}_{2}}={{q}_{3}}={{5.10}^{-9}}C\] đặt tại 3 đỉnh liên tiếp của hình vuông cạnh a = 30 cm trong không khí. Cường độ điện trường ở đỉnh thứ tư có độ lớn

A. \[9,{{6.10}^{3}}V/m\] B. \[9,{{6.10}^{2}}V/m\] C. \[7,{{5.10}^{4}}V/m\] D. \[8,{{2.10}^{3}}V/m\]

Hướng dẫn

Ta có : \[{{E}_{D}}=\left( \sqrt{2}+\frac{1}{2} \right)k\frac{q}{{{a}^{2}}}\approx 957,1V/m\]

Chọn đáp án B

III, Bài tập tự luyện

Câu 1 : Hình vuông ABCD cạnh \[5\sqrt{2}\]cm trong không khí. Tại A và B đặt hai điện tích điểm \[{{q}_{A}}={{q}_{B}}=-{{5.10}^{-8}}C\] thì vecto cường độ điện trường tại tâm 0 của hình vuông có

A. hướng theo chiều AD và có độ lớn \[1,{{8.10}^{5}}V/m\]

B. hướng theo chiều AD và có độ lớn \[{{9.10}^{5}}V/m\]

C. hướng theo chiều DA và có độ lớn \[1,8\sqrt{2}{{.10}^{5}}V/m\]

D. hướng theo chiều DA và có độ lớn \[{{9.10}^{5}}V/m\]

Câu 2 : Hai điện tích điểm \[{{q}_{1}}={{8.10}^{-6}}C\] và \[{{q}_{2}}=-{{2.10}^{-6}}C\] đặt tại 2 điểm cách nhau một đoạn a = 10 cm. Điểm M mà tại đó cường độ điện trường bằng 0. Kết luận nào sau đây đúng?

A. nằm trên đoạn thẳng nối hai điện tích, cách \[{{q}_{2}}\] 10 cm

B. nằm trên đoạn thẳng nối hai điện tích, cách \[{{q}_{1}}\] 10 cm

C. nằm trên đường thẳng nối hai điện tích, ngoài đoạn thẳng nối hai điện tích, cách \[{{q}_{2}}\] 10 cm

D. nằm trên đường thẳng nối hai điện tích, ngoài đoạn thẳng nối hai điện tích, cách \[{{q}_{1}}\] 10 cm

Câu 3 : Ba điện tích q giống hệt nhau được đặt cố định tại ba đỉnh của một tam giác đều có cạnh a. Độ lớn cường độ điện trường tại tâm của tam giác là:

A. \[E=k\frac{\left| q \right|}{{{a}^{2}}}\] B. \[E=3k\frac{\left| q \right|}{{{a}^{2}}}\] C. \[E=9k\frac{\left| q \right|}{{{a}^{2}}}\] D. E=0

Câu 4 : Tại ba đỉnh của tam giác đều ABC cạnh a được đặt lần lượt các điện tích dương q, 2q và 3q. Độ lớn cường độ điện trường tại tâm của tam giác là?

A. \[E=3k\frac{q}{{{a}^{2}}}\] B. \[E=3\sqrt{3}k\frac{q}{{{a}^{2}}}\] C. \[E=9k\frac{q}{{{a}^{2}}}\] D. E=0

Câu 5 : Bốn điện tích dương Q đặt tại 4 đỉnh của hình vuông ABCD cạnh a. Cường độ điện trường tại tâm O của hình vuông có độ lớn

A. \[E={{36.10}^{9}}\frac{Q}{{{a}^{2}}}\] B. \[E={{72.10}^{9}}\frac{Q}{{{a}^{2}}}\] C. E=0 D. \[E=18\sqrt{2}{{.10}^{9}}\frac{Q}{{{a}^{2}}}\]

Câu 6 : Tại 6 đỉnh của một lục giác đều ABCDEF cạnh a người ta lần lượt đặt các điện tích điểm dương q, 2q, 3q, 4q, 5q, 6q. Cường độ điện trường tại tâm lục giác có độ lớn là?

A. \[E=k\frac{q}{{{a}^{2}}}\] B. \[E=3k\frac{q}{{{a}^{2}}}\] C. \[E=6k\frac{q}{{{a}^{2}}}\] D. \[E=5k\frac{q}{{{a}^{2}}}\]

Câu 7 : Cho 3 điện tích điểm \[{{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}\] đặt tại 3 đỉnh A, B, C của hình vuông ABCD trong không khí. Xác định hệ thức giữa \[{{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}\] để cường độ điện trường tại D bằng 0?

A. \[{{q}_{1}}={{q}_{3}}=\frac{{{q}_{2}}}{2\sqrt{2}}\] B. \[{{q}_{1}}={{q}_{3}}=\frac{-{{q}_{2}}}{2\sqrt{2}}\] C. \[{{q}_{1}}={{q}_{3}}=\frac{-{{q}_{2}}}{\sqrt{2}}\] D. \[{{q}_{1}}={{q}_{3}}=\frac{{{q}_{2}}}{\sqrt{2}}\]

Câu 8 : Hai điện tích \[{{q}_{1}}=-{{q}_{2}}=q>0\] đặt tại A, B trong không khí. Cho biết AB = 2a. Điểm M nằm trên đường trung trực của AB cách AB đoạn h. Độ lớn cường độ điện trường tại điểm M đạt cực đại là?

A. \[\frac{kq}{{{a}^{2}}}\] B. \[\frac{kq}{2{{a}^{2}}}\] C. \[\frac{2\sqrt{2}kq}{{{a}^{2}}}\] D.\[\frac{2kq}{{{a}^{2}}}\]

Câu 9 : Bốn điện tích dương q, 2q, 3q và 4p lần lượt đặt tại 4 đỉnh của hình vuông ABCD cạnh a. Cường độ điện trường tại tâm O của hình vuông có độ lớn

A. \[\frac{4kq}{{{a}^{2}}}\] B. \[\frac{2kq}{{{a}^{2}}}\] C. \[\frac{4\sqrt{2}kq}{{{a}^{2}}}\] D. E=0

Câu 10 : Hai điện tích điểm \[{{q}_{1}}={{8.10}^{-6}}\] và \[{{q}_{2}}={{2.10}^{-6}}\] đặt tại 2 điểm cách nhau một đoạn a = 15 cm. Điểm M mà tại đó cường độ điện trường bằng 0. Kết luận nào sau đây đúng?

A. nằm trên đoạn thẳng nối hai điện tích, cách \[{{q}_{2}}\] 10 cm

B. nằm trên đoạn thẳng nối hai điện tích, cách \[{{q}_{1}}\] 10 cm

C. nằm trên đường thẳng nối hai điện tích, ngoài đoạn thẳng nối hai điện tích, cách \[{{q}_{2}}\] 10 cm

D. nằm trên đường thẳng nối hai điện tích, ngoài đoạn thẳng nối hai điện tích, cách\[{{q}_{1}}\] 10 cm.

Đáp án