Đại cương về dao động điều hòa

ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

 

I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ DAO ĐỘNG

1) Dao động cơ học

     Dao động cơ học là sự chuyển động của một vật quanh một vị trí xác định gọi là vị trí cân bằng.

2) Dao động tuần hoàn

     Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái của vật được lặp lại như cũ, theo hướng cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau xác định (được gọi là chu kì dao động).

3) Dao động điều hòa

     Dao động điều hòa là dao động mà li độ của vật được biểu thị bằng hàm cosin hay sin theo thời gian.

II. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1) Phương trình li độ dao động

     Phương trình li độ dao động có dạng x = Acos(ωt + φ).

      + x: Li độ, thường có đơn vị độ dài cm hoặc m                                                                                             -               

      + A = x_max: Biên độ (luôn có giá trị dương)

      + 2A: Chiều dài quỹ đạo.

      + $\omega $: tần số góc (luôn có giá trị dương)

      + $\omega t+\phi $: pha dđ (đo bằng rad) (\[-2\pi \le \varphi \le 2\pi \])

      + $\phi $: pha ban đầu (tại t = 0, đo bằng rad) (\[-\pi \le \varphi \le \pi \]) 

                  

                          A             O          A

 

Ví dụ 1: Xác định biên độ dao động A, tần số góc ω và pha ban đầu của các dao động có phương trình sau:

       a) x = 3cos(10πt +\[\frac{\pi }{3}\]) cm                                    b) x = -2sin(πt -\[\frac{\pi }{4}\]) cm                c) x = - cos(4πt +\[\frac{\pi }{6}\]) cm

Nhắc lại kiến thức cũ:

* Cách chuyển đổi qua lại giữa các hàm lượng giác

 + Để chuyển từ sin => cos thì ta áp dụng sinx = cos(x - \[\frac{\pi }{2}\])

+ Để chuyển từ cos => sin thì ta áp dụng cosx= sin(x + \[\frac{\pi }{2}\])

+ Để chuyển từ -cos => cos thì ta áp dụng -cosx = cos(x + π)

+ Để chuyển từ -sin =>sin thì ta áp dụng -sinx = sin (x+ π)

 

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(2πt + \[\frac{\pi }{6}\]) cm.

a) Xác định li độ của vật khi pha dao động bằng \[\frac{\pi }{3}\].

b) Xác định li độ của vật ở các thời điểm t = 1 (s); t = 0,25 (s).

c) Xác định các thời điểm vật qua li độ x = –5 cm và x = 10 cm.

Hướng dẫn giải:

 a) Khi pha dao động bằng \[\frac{\pi }{3}\]  tức ta có 2πt + \[\frac{\pi }{6}\] = \[\frac{\pi }{3}\]  à x = 10cos\[\frac{\pi }{3}\] = 5 cm

b) Xác định li độ của vật ở các thời điểm t = 1 (s); t = 0,25 (s).

     + Khi t = 1(s) à x = 10cos(2π.1 + \[\frac{\pi }{6}\]) = 10cos\[\frac{\pi }{6}\] = 5\[\sqrt[]{3}\] cm

+ Khi t = 0,25 (s) à x = 10cos(2π.0,25 + \[\frac{\pi }{6}\])= 10cos\[\frac{7\pi }{6}\] = - 5 cm

 

2) Phương trình vận tốc:

Ta có v = x’

  

Nhận xét :

+ Vận tốc nhanh pha hơn li độ góc π/2 hay φ_v = φ_x + π/2.

+ Véc tơ vận tốc $\overset{\to }{\mathop v}\,$ $\overset{\to }{\mathop v}\,$ luôn cùng chiều với chiều chuyển động (vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, theo chiều âm thì v < 0).

+ Độ lớn của vận tốc được gọi là tốc độ, và luôn có giá trị dương.

+ Khi vật qua vị trí cân bằng (tức x = 0) thì tốc độ vật đạt giá trị cực đại là v_max = ωA, còn khi vật qua các vị trí biên (tức x = ± A) thì vận tốc bị triệt tiêu (tức là v = 0) vật chuyển động chậm dần khi ra biên.

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(4$\pi $t - $\pi $/3) cm.

a) Viết phương trình vận tốc của vật.

b) Xác định vận tốc của vật ở các thời điểm t = 0,5 (s) ; t = 1,25 (s).

c) Tính tốc độ của vật khi vật qua li độ x = 2 cm.

Hướng dẫn giải:

a) Từ phương trình dao động x = 4cos(4$\pi $t - $\pi $/3) cm -> v = x’ = -16$\pi $sin(4$\pi $t - $\pi $/3) cm/s

b) Xác định vận tốc của vật ở các thời điểm t = 0,5 (s) ; t = 1,25 (s).

     * Khi t = 0,5 (s) à v = -16$\pi $sin(4$\pi $.0,5 - $\pi $/3) = 8$\pi $\[\sqrt[]{3}\] cm/s

* Khi t 1,125 (s) à v = 16$\pi $sin(4$\pi $.1,125 - $\pi $/3) = - 8$\pi $ cm/s

c) Khi vật qua li độ x = 2 cm à 4cos(4$\pi $t - $\pi $/3) =2

     <=> cos(4$\pi $t - $\pi $/3) = \[\frac{1}{2}\]  -> sin(4$\pi $t- $\pi $/3) = $\pm \sqrt{1-\frac{1}{4}}$= ± \[\frac{\sqrt{3}}{2}\]

 Khi đó, v = -16$\pi $sin(4$\pi $t - $\pi $/3) = -16$\pi $.(± \[\frac{\sqrt{3}}{2}\]) =   8$\pi $\[\sqrt[]{3}\] cm/s

Vậy khi vật qua li độ x = 2 cm thì tốc độ của vật đạt được là v = 8$\pi $\[\sqrt[]{3}\] cm/s

 

3) Phương trình gia tốc

    

     Vậy trong cả hai trường hợp thiết lập ta đều có a = –ω²x.

Nhận xét:

     + Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc góc $\pi $/2, nhanh pha hơn li độ góc $\pi $, tức là φ_a = φ_v + \[\frac{\pi }{2}\] = φ_x + π.

     + Véc tơ gia tốc $\vec{a}$ luôn hướng về vị trí cân bằng.

     + Khi vật qua vị trí cân bằng (tức x = 0) thì gia tốc bị triệt tiêu (tức là a = 0), còn khi vật qua các vị trí biên (tức x = ± A) thì gia tốc đạt độ lớn cực đại a_max = ω²A.

     

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 2cos($\pi $t + $\pi $/6) cm. Lấy  ${{\pi }^{2}}$ = 10.

a) Viết phương trình vận tốc, gia tốc của vật.

b) Xác định vận tốc, gia tốc của vật ở thời điểm t = 0,5 (s).

c) Tính tốc độ cực đại, gia tốc cực đại của vật.

Hướng dẫn giải:

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 2cos(4πt + π/3) cm. Chu kỳ và tần số dao động của vật là

    A. T = 2 (s) và f = 0,5 Hz.                                           B. T = 0,5 (s) và f = 2 Hz

     C. T = 0,25 (s) và f = 4 Hz.                                         D. T = 4 (s) và f = 0,5 Hz.

Câu 2: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = –4sin(5πt – π/3) cm. Biên độ dao động và pha ban đầu của vật là

     A. A = – 4 cm và φ = π/3 rad.                                      B. A = 4 cm và j = 2π/3 rad.

     C. A = 4 cm và φ = 4π/3 rad.                                       D. A = 4 cm và φ = –2π/3 rad.

Câu 3: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = – 5sin(5πt – π/6) cm. Biên độ dao động và pha ban đầu của vật là

     A. A = – 5 cm và φ = – π/6 rad.                                   B. A = 5 cm và φ = – π/6 rad.

     C. A = 5 cm và φ = 5π/6 rad.                                       D. A = 5 cm và φ = -5π/6 rad.

Câu 4: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 2cos(5πt + π/3) cm. Biên độ dao động và tần số góc của vật là

     A. A = 2 cm và ω = π/3 (rad/s).                                   B. A = 2 cm và ω = 5 (rad/s).

     C. A = – 2 cm và ω = 5π (rad/s).                                 D. A = 2 cm và ω = 5π (rad/s).

Câu 5: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = – 3sin(5πt – π/3) cm. Biên độ dao động và tần số góc của vật là

     A. A = – 3 cm và ω = 5π (rad/s).                                 B. A = 3 cm và ω = – 5π (rad/s).

     C. A = 3 cm và ω = 5π (rad/s).                                    D. A = 3 cm và ω = – π/3 (rad/s).

Câu 6: Phương trình dao động điều hoà của một chất điểm có dạng x = Acos(ωt + φ). Độ dài quỹ đạo của dao động là

     A. A.                                  B. 2A.                                C. 4A                                 D. A/2.

Câu 7: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 6cos(4πt) cm. Biên độ dao động của vật là

     A. A = 4 cm.                      B. A = 6 cm.                      C. A= –6 cm.                     D. A = 12 m.

Câu 8:  Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 5cos(2πt) cm, chu kỳ dao động của chất điểm là

     A. T = 1 (s).                       B. T = 2 (s).                       C. T = 0,5 (s).                    D. T = 1,5 (s).

Câu 9: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 6cos(4πt) cm. Tần số dao động của vật là

     A. f = 6 Hz.                       B. f = 4 Hz.                       C. f = 2 Hz.                       D. f = 0,5 Hz.

Câu 10:  Một vật dao động điều hòa có phương trình x = 2cos(2πt – π/6) cm. Li độ của vật tại thời điểm t = 0,25 (s) là

            A. 1 cm.          B. 1,5 cm.        C. 0,5 cm.       D. –1 cm.

Câu 11:  Một vật dao động điều hoà theo trục Ox, trong khoảng thời gian 1 phút 30 giây vật thực hiện được 180 dao động. Khi đó chu kỳ và tần số động của vật lần lượt là

     A. T = 0,5 (s) và f = 2 Hz.                                           B. T = 2 (s) và f = 0,5 Hz.

     C. T = 1/120 (s) và f = 120 Hz.                                   D. T = 2 (s) và f = 5 Hz.

Câu 12:  Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 5 cm. Khi nó có li độ là 3 cm thì vận tốc là 1 m/s. Tần số góc dao động là

     A. ω = 5 (rad/s).                B. ω = 20 (rad/s).               C. ω = 25 (rad/s).              D. ω = 15 (rad/s).

Câu 13:  Một vật dao động điều hòa thực hiện được 6 dao động mất 12 (s). Tần số dao động của vật là

     A. 2 Hz.                             B. 0,5 Hz.                          C. 72 Hz.                           D. 6 Hz.

Câu 14:  Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 4 cm. Vật thực hiện được 5 dao động mất 10 (s). Tốc độ cực đại của vật trong quá trình dao động là

     A. v_max = 2π cm/s.              B. v_max = 4π cm/s.              C. v_max = 6π cm/s.              D. v_max = 8π cm/s.

Câu 15:  Phương trình li độ của một vật là x = 4sin(4πt – π/2) cm. Vật đi qua li độ x = –2 cm theo chiều dương vào những thời điểm nào:

     A. t = 1/12 + k/2, (k = 0, 1, 2…).                                 B. t = 1/12 + k/2 ; t = 5/12 + k/2, (k = 0, 1, 2…).

     C. t = 5/12 + k/2, (k = 0, 1, 2…).                                 D. t = 5/12 + k/2, (k = 1, 2, 3…).

Đáp án 1B 2B 3C 4D 5C 6B 7B 8A 9C 10A 11A 12C 13B 14B 15A

 

Bài viết gợi ý: