1. Khái niệm phương trình
a) Phương trình một ẩn
Phương trình ẩn \(x\) là mệnh đề chứa biến có dạng $f\left( x \right) = g\left( x \right)\,\,\left( 1 \right)$
trong đó $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là những biểu thức của $x.$
Ta gọi $f\left( x \right)$ là vế trái, $g\left( x \right)$ là vế phải của phương trình $\left( 1 \right).$
Nếu có số thực ${x_0}$ sao cho $f\left( {{x_0}} \right) = g\left( {{x_0}} \right)$ là mệnh đề đúng thì ${x_0}$ được gọi là một nghiệm của phương trình $\left( 1 \right).$
Giải phương trình $\left( 1 \right)$ là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).
Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).
b) Điều kiện xác định của một phương trình
Khi giải phương trình $\left( 1 \right)$, ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số $x$ để $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).
c) Phương trình nhiều ẩn
Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn
$\begin{array}{l}3x + 2y = {x^2} - 2xy + 8,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\4{x^2} - xy + 2z = 3{z^2} + 2xz + {y^2}.\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}$
Phương trình $\left( 2 \right)$ là phương trình hai ẩn ($x$ và $y$), còn $\left( 3 \right)$ là phương trình ba ẩn ($x,\,y$ và $z$).
Khi $x = 2,\,\,y = 1$ thì hai vế của phương trình $\left( 2 \right)$ có giá trị bằng nhau, ta nói cặp $\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)$ là một nghiệm của phương trình $\left( 2 \right).$
Tương tự, bộ ba số $\left( {x;y;z} \right) = \left( { - \,1;1;2} \right)$ là một nghiệm của phương trình $\left( 3 \right).$
d) Phương trình chứa tham số
Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.
2. Phương trình tương đương và phương trình hệ quả
a) Phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
b) Phép biến đổi tương đương
Định lí:
Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương
a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;
b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác $0$ hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác $0.$
Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.
c) Phương trình hệ quả
Nếu mọi nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = g\left( x \right)$ đều là nghiệm của phương trình ${f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)$ thì phương trình ${f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)$ được gọi là phương trình hệ quả của phương trình $f\left( x \right) = g\left( x \right).$
Ta viết:
$f\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow {f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right).$
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu.
Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.
