Phương pháp chuẩn hóa dòng điện xoay chiều

Bài 1: Một đoạn mạch AB gồm ba phần tử R, L, C mắc nối tiếp (cuộn dây cảm thuần có độ tự cảm L). Đặt điện áp xoay chiều u = U$\sqrt{2}$cos 2$\pi$ft (U không đổi, tần số f thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch AB. Khi tần số là f  = f₀ thì dòng điện sớm pha  π/4 so với điện áp hai đầu mạch AB và lúc đó cảm kháng bằng R. Khi tần số là f = f₁ = 2f₀  thì độ lệch pha giữa  điện áp  hai đầu mạch AB so với  cường độ dòng điện là:

   A. π/3.                      B. π/4.                         C. π/6.              D. - π/4.

Giải:

Cách 1: Dùng phương pháp thông thường

- Khi f = f₀ thì dòng điện sớm pha  π/4 so với điện áp hai đầu mạch AB nên ta có:

\[\tan (-\frac{\pi }{4})=\frac{{{Z}_{L0}}-{{Z}_{C0}}}{R}=-1\to {{Z}_{C0}}-{{Z}_{L0}}=R\]=>\[{{Z}_{C0}}-R=R\to {{Z}_{C0}}=2R\]

- Khi f = f₁ = 2f₀  thì Z_L1= 2Z_L0 = 2R _;  Z_C1 = 0,5Z_C0  = R, ta có:

\[\tan \varphi =\frac{{{Z}_{L1}}-{{Z}_{C1}}}{R}=\frac{2R-R}{R}=1\to \varphi =\frac{\pi }{4}\] => Chọn A.

Cách 2: Dùng phương pháp “Chuẩn hóa gán số liệu”

- Khi f = f₀ ta gán Z_L = R = 1 W

- Khi f = f₀ thì dòng điện sớm pha  π/4 so với điện áp hai đầu mạch AB nên ta có:

\[\tan (-\frac{\pi }{4})=\frac{{{Z}_{L0}}-{{Z}_{C0}}}{R}=-1\to {{Z}_{C0}}-{{Z}_{L0}}=R=1\Omega \]=>\[{{Z}_{C0}}-1=1\to {{Z}_{C0}}=2\Omega \]

- Khi f = f₁ = 2f₀  thì Z_L1 = 2Z_L0 = 2W _;  Z_C1 = 0,5; Z_C0  =1W  và ta có:

\[\tan \varphi =\frac{{{Z}_{L1}}-{{Z}_{C1}}}{R}=\frac{2-1}{1}=1\to \varphi =\frac{\pi }{4}\]=> Chọn A.

* Nhận xét các cách giải: Cách giải 2 có ưu thế hơn về mặt tính toán

Bài 2:

Cho mạch điện như hình vẽ. Đặt điện áp xoay chiều u=U$\sqrt{2}$cos100$\pi$tvào hai đầu đoạn mạch điện AB như hình vẽ. Cuộn dây thuần cảm và R = Z_C. Khi K đóng hoặc mở thì cường độ dòng điện hiệu dụng qua mạch không đổi.

a. Tính độ lệch pha giữa u và i khi k mở và k đóng.

b. Tính hệ số công suất của đoạn mạch khi k mở và k đóng

Giải:

a. Tính độ lệch pha giữa u và i khi k mở và k đóng.

+ K đóng, mạch chứa R và C nối tiếp: ${{Z}_{1}}=\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}=R\sqrt{2}$

+ K mở, mạch chứa RLC:${{Z}_{2}}=\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-Z_{C}^{{}})}^{2}}}$

+ Do I₁ = I₂

$=>{{Z}_{2}}={{Z}_{1}}=R\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}=\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=>{{Z}_{C}}=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|$

⇒Z_L=2Z_C=2R

+ Độ lệch pha:tan $\phi$_m=$\frac{Z_L-Z_C}{R}$=1 ⇒$\phi =\frac{\pi }{4}$ ;

tan $\phi$_d= -1→ $\phi$=$\frac{-\pi }{4}$

b. Tính hệ số công suất của đoạn mạch khi k mở và k đóng.

Cách 1: Sử dụng kết quả câu a.

$c\text{os}{{\varphi }_{m}}=c\text{os}\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2};\,c\text{os}{{\varphi }_{d}}=c\text{os}\left( \text{-}\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Cách 2: Dùng công thức:$c\text{os}\varphi =\frac{R}{Z}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}}$

 Cách 3: Dùng phương pháp “Chuẩn hóa gán số liệu”

Chọn R = 1 đơn vị điện trở.

Ta suy ra:${{Z}_{2}}={{Z}_{1}}=R\sqrt{2}=\sqrt{2}.$

$c\text{os}{{\varphi }_{d}}=\frac{R}{{{Z}_{1}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2};\,c\text{os}{{\varphi }_{m}}=\frac{R}{{{Z}_{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2};$

Bài 3:  Mắc vào đoạn mạch RLC không phân nhánh gồm một nguồn điện xoay  chiều có tần số thay đổi được. Ở tần số f₁ = 60Hz, hệ số công suất đạt cực đại cosj₁ = 1 và lúc lúc đó cảm kháng ${{Z}_{{{L}_{1}}}}=R.$Ở tần số f₂ =120Hz, hệ số công suất nhận giá trị cos $\phi$₂bằng bao nhiêu?

   A.$\frac{2}{\sqrt{13}}$.                    B. $\frac{2}{\sqrt{7}}$.                  C. 0,5.       D. $\frac{2}{\sqrt{5}}$.

Giải:

Cách 1: Dùng công thức:$c\text{os}\varphi =\frac{R}{Z}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}}$

Lúc f₁ = 60 Hz và cosj­₁ = 1 nên ta có: Z_L1 = Z_C1 =R

Lúc f₂ = 120 Hz = 2f₁ thì Z_L2 = 2Z_L1= 2R ; Z_C2 = R/2.

Hệ số công suất:

$c\text{os}{{\varphi }_{2}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{{{L}_{2}}}}-{{Z}_{{{C}_{2}}}})}^{2}}}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(2R-\frac{R}{2})}^{2}}}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(\frac{3R}{2})}^{2}}}}=\frac{R}{\sqrt{\frac{13{{R}^{2}}}{4}}}=\frac{2}{\sqrt{13}}\cdot $Chọn A.

Cách 2: Cách giải dùng phương pháp chuẩn hóa gán số liệu:

Lúc f₁ = 60 Hz và  cosj­₁ = 1 nên ta có: Z_L1 = Z_C1 =R

Ta gán số liệu: R = Z_L1 = Z_C1 = 1  

Lúc f₂ = 120 Hz = 2f₁ thì Z_L2 = 2; Z_C2 = 1/2.

$c\text{os}{{\varphi }_{2}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{{{L}_{2}}}}-{{Z}_{{{C}_{2}}}})}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(2-\frac{1}{2})}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(\frac{3}{2})}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{13}}\cdot $ Chọn A.

Bài 4:  Cho mạch điện AB gồm điện trở thuần R, cuộn thuần cảm L và tụ C nối tiếp với nhau theo thứ tự trên., và có CR² < 2L. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có biểu thức$u=U\sqrt{2}\,c\text{os}(\omega t),$ trong đó U không đổi, w biến thiên. Điều chỉnh giá trị của w để điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ đạt cực đại. Khi đó ${{U}_{Cm\text{ax}}}=\frac{5U}{4}\cdot $ Gọi M là điểm nối giữa L và C. Hệ số công suất  của đoạn mạch AM là:

   A.$\frac{2}{\sqrt{7}}$ .        B. $\frac{1}{\sqrt{3}}$.                        C. $\sqrt{\frac{5}{6}}$.           D $\frac{1}{4}$ .Giải:

Cách 1: Dùng công thức và phương pháp thế (toán học thông thường)

Từ $\omega$L=$\sqrt{\frac{L}{C}-\frac{R²}{2}}$ và$\frac{1}{{{\omega }_{L}}C}=\sqrt{\frac{L}{C}\frac{{{R}^{2}}}{2}}\cdot $Ta được: $\frac{{{\omega }_{C}}}{{{\omega }_{L}}}=1-\frac{{{R}^{2}}C}{2L}\Rightarrow \frac{L}{C{{R}^{2}}}=\frac{5}{4}\,(1)$

$c\text{os}{{\varphi }_{AM}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{L}{C{{R}^{2}}}}}\,(2)$

Thế (1) vào  (2) $\Rightarrow c\text{os}{{\varphi }_{AM}}=\frac{2}{\sqrt{7}}$

Cách 3: Dùng phương pháp chuẩn hóa gán số liệu:

Ta có: (Uc) max =  U $\Rightarrow {{Z}_{C}}=\frac{5}{4}Z.$ Chọn Z = 4 Ω => Zc = 5 Ω.

Ta có: $Z_{C}^{2}={{Z}^{2}}+Z_{L}^{2}$ suy ra ${{z}_{l}}=\sqrt{z_{c}^{2}-{{z}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=3\Omega $

Và $\frac{{{R}^{2}}}{2}={{Z}_{L}}.({{Z}_{C}}-{{Z}_{L}})$ $\Rightarrow \frac{{{R}^{2}}}{2}=\sqrt{2{{Z}_{L}}.({{Z}_{C}}-{{Z}_{L}})}=\sqrt{2.3(5-3)}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\Omega $

$c\text{os}{{\varphi }_{AM}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{{{(2\sqrt{3})}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}=\frac{2}{\sqrt{7}}\cdot $Chọn A

Cách 4: Dùng phương pháp Chuẩn hóa gán số liệu 2:

Hệ số công suất  của đoạn mạch AM là:$c\text{os}{{\alpha }_{1}}=\frac{R}{{{Z}_{AM}}}$

Không làm ảnh hưởng đến kết quả bài toán về tỉ số,

ta có thể gán: Z_C = 5 Ω => Z = 4 Ω. Khi đó:${{Z}_{L}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=3\Omega $

$R=\sqrt{2.{{Z}_{L}}.({{Z}_{C}}-{{Z}_{L}})}=\sqrt{2.3(5-3)}=2\sqrt{3}\Omega $

Suy ra: Z_AM = $\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}=\sqrt{12+9}=\sqrt{21}$

Ta có:${{U}_{C\max }}=\frac{5U}{4}\Leftrightarrow {{Z}_{C}}=\frac{5Z}{4}\cdot $ Vì $\cos {{\alpha }_{1}}=\frac{R}{{{Z}_{AM}}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{21}}=\frac{2}{\sqrt{7}}$

=> Vậy hệ số công suất của đoạn mạch AM:$\cos {{\alpha }_{1}}=\frac{R}{{{Z}_{AM}}}=\frac{2}{\sqrt{7}}\cdot $

* Nhận xét: Mỗi cách giải đều có cái hay riêng! Nhưng cách giải 3 và 4 có ưu thế hơn về mặt tính toán, thực hiện dễ dàng hơn, công thức đơn giản hoặc ít hơn!

Bài 4b: Mạch điện xoay chiều không phân nhánh gồm: điện trở thuần R, cuộn dây thuần cảm L và tụ điện C. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều có tần số và điện áphiệu dụng không đổi. Dùng vôn kế có điện trở rất lớn, lần lượt đo điện áp ở hai đầu đoạn mạch, hai đầu tụ điện và hai đầu cuộn dây thì số chỉ của vôn kế tương ứng là U, U_C và U_L. Biết U = U_C = 2U_L. Hệ số công suất của mạch điện là

   A. cosφ = \[\frac{\sqrt{2}}{2}\].         B. cosφ = \[\frac{1}{2}\].           

  C . cosφ = 1.                                          D. cosφ = \[\frac{\sqrt{3}}{2}\].

Giải:Nhận thấy mối quan hệ  U = U_C  = 2U_L nên ta chuẩn hóa: U_L = 1 => U = U_C  = 2.

Ta có: \[{{U}^{2}}=U_{R}^{2}+{{({{U}_{L}}-{{U}_{C}})}^{2}}\to U_{R}^{2}={{U}^{2}}-{{({{U}_{L}}-{{U}_{C}})}^{2}}={{2}^{2}}-{{(1-2)}^{2}}=3\]

=> \[{{U}_{R}}=\sqrt{3}\]=> $c\text{os}\varphi =\frac{{{U}_{R}}}{U}=\frac{\sqrt[{}]{3}}{2}$ Chọn D. 

* Nhận xét: Khi chuẩn hóa số liệu, bài toán cho dưới dạng tường minh đã trở thành những con số cụ thể, ngắn gọn phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm.

Bài 5 (ĐH - 2008):Cho đoạn mạch điện xoay chiều gồm cuộn dây mắc nối tiếp với tụ điện. Độ lệch pha của điện áp giữa hai đầu cuộn dây so với cường độ dòng điện trong mạch là $\frac{\pi }{3}$. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện bằng $\sqrt{3}$ lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn dây. Độ lệch pha của điện áp giữa hai đầu cuộn dây so với  điện áp giữa hai đầu đoạn mạch trên là

   A. $\frac{2\pi }{3}$.                       B. 0.                C. $\frac{\pi }{2}$.                D. - $\frac{\pi }{3}$.

Giải:Cách 1: Phương pháp đại số ngắn gọn dùng cho học sinh khá trở lên

$\Rightarrow \tan \varphi =\frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{r}=-\sqrt{3}\Rightarrow \varphi =-\frac{\pi }{3}\Rightarrow {{\varphi }_{cd}}-\varphi =\frac{2\pi }{3}\cdot $ Chọn A.

Cách 2: Dùng giản đồ véc tơ và chuẩn hóa số liệu:

Ta chuẩn hóa U_d = AB = 1

=> Uc = BC =\[\sqrt{3}\]       

Do góc lệch pha giữa U_d và i là $\frac{\pi }{3}$ => góc ABC = $\frac{\pi }{6}$

Ta thấy ngay rằng ABC là tam  giác cân tại A

và suy ra góc lệch giữa u và u_d là $\frac{2\pi }{3}$.

Cách 3a: Dùng phương pháp chuẩn hóa gán số liệu.

Theo đề ta cần tìm: j_d - j_{u .}  Đề  đã cho j_d ta sẽ tìm j_u.

 Ta có u_d  lệch $\frac{\pi }{3}$ so với i nên cuộn dây phải có r (vì nếu chỉ có L thì u_d =  u_{L$\bot $} i).

Vậy ta có \[\tan {{\varphi }_{d}}=\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\]=> \[\frac{{{Z}_{L}}}{r}=\sqrt{3}\]=>\[{{Z}_{L}}=\sqrt{3}r\] (1)

Theo đề: \[{{U}_{C}}=\sqrt{3}{{U}_{d}}\]=>\[{{Z}_{C}}=\sqrt{3}{{Z}_{d}}\]  (2)

Ta tìm độ lệch pha j giữa u và i, rồi suy ra độ lệch pha giữa u_d và u.

Có nghĩa là dùng công thức: \[\tan \varphi =\frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{r}\]

Ta nhận thấy các công thức về độ lệch pha đều là tỉ số nên các trở kháng có sự tỉ lệ tương ứng, vậy ta sẽ chuẩn hóa gán số liệu như sau

Nghĩa là u trễ pha hơn i một góc  j = - $\frac{\pi }{3}$ nên u_d  sẽ sớm pha hơn u một góc $\frac{2\pi }{3}$ . Chọn A. 

Cách 3b: Dùng phương pháp chuẩn hóa gán số liệu khác.

Vì công thức tanj có dạng tỉ số nên ta gán r = 1.

$\Rightarrow t{{g}_{\varphi }}=\frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{r}=\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}\Rightarrow \varphi =-\frac{\pi }{3}\Rightarrow {{\varphi }_{cd}}-\varphi =\frac{2\pi }{3}\cdot $Chọn A.

Cách 4a: Dùng phương pháp chuẩn hóa gán số phức.

 (chuẩn hóa hàm \[i={{I}_{0}}\cos \omega t=\cos \omega t=1\angle 0\] )

Để đơn giản  ta chọn\[i={{I}_{0}}\cos \omega t=\cos \omega t=1\angle 0\](Chọn I₀ = 1A và j_i = 0 )

=> Ta nhận thấy  u_d  sẽ sớm pha hơn u góc $\frac{2\pi }{3}$. Chọn A. 

Cách giải 4b: Dùng phương pháp chuẩn hóa gán số phức.

(chuẩn hóa hàm u với \[{{u}_{d}}={{U}_{0d}}\cos \omega t=1\angle 0).\]Từ đó các thành phần của u_C lúc này là:

Ta có: \[u={{u}_{d}}+{{u}_{C}}=1\angle 0+\sqrt{3}\angle -\frac{5\pi }{6}=1\angle -\frac{2\pi }{3}\]

=> Nhận thấy u_d sẽ sớm pha hơn u góc $\frac{2\pi }{3}$. Chọn A.

Nhận xét: Việc khai thác được tối đa một phương pháp phải bắt nguồn từ sự hiểu rõ bản chất của bài tập, học sinh cần phải luyện tập nhiều phương pháp. Chuẩn hóa gán số liệu là một phương pháp giải nghệ thuật!

 

 

3. Vận dụng phương pháp chuẩn hóa gán số liệu.

Câu 1 (ĐH - 2007):

Đặt vào hai đầu đoạn mạch RLC không phân nhánh một  điện áp xoay chiều u = U₀coswt. Kí hiệu U_R, U_L, U_C tương ứng là  điện áp hiệu dụng ở hai đầu điện trở thuần R, cuộn dây cảm thuần L và tụ điện có điện dung C. Nếu\[{{U}_{R}}=\frac{1}{2}{{U}_{L}}={{U}_{C}}\] thì dòng điện qua đoạn mạch

   A. sớm pha $\frac{\pi }{2}$so với  điện áp ở hai đầu đoạn mạch.

   B. trễ  pha $\frac{\pi }{4}$ so với điện áp ở hai đầu đoạn mạch.

   C. sớm pha $\frac{\pi }{4}$so với điện áp ở hai đầu đoạn mạch.

   D. trễ pha $\frac{\pi }{2}$ so với điện áp ở hai đầu đoạn mạch. 

Giải:

Cách 1: Phương pháp dùng công thức thông thường.

Để tìm góc lệch pha giữa i và u ta dùng công thức:

\[\tan \varphi =\frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}=\frac{{{U}_{L}}-{{U}_{C}}}{{{U}_{R}}}\]  (1)

Theo đề cho: \[{{U}_{R}}=\frac{1}{2}{{U}_{L}}={{U}_{C}}\]=>\[{{U}_{L}}=2{{U}_{R}};{{U}_{C}}={{U}_{R}}\] (2)

(Các đại lượng U_L,U_C tính theo ẩn U_R )

Thế (2) vào (1): \[\tan \varphi =\frac{{{U}_{L}}-{{U}_{C}}}{{{U}_{R}}}=\frac{2{{U}_{R}}-{{U}_{R}}}{{{U}_{R}}}=\frac{2-1}{1}=1\to \varphi =\frac{\pi }{4}\]

 (ẩn số U_R bị triệt tiêu do lập tỉ số) => i trễ pha hơn u một góc  $\frac{\pi }{4}$. Chọn  B.

Cách 2: Phương pháp chuẩn hóa gán số liệu.

Để tìm độ lệch pha giữa i và u ta dùng công thức \[\tan \varphi =\frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}=\frac{{{U}_{L}}-{{U}_{C}}}{{{U}_{R}}}\] (1)

- Nhận biết dạng ở đây chính là công thức (1) có các đại lượng cùng đơn vị, hơn nữa “dấu hiệu” trong đề cũng đã cho rất rõ tỉ lệ giữa các đại lượng này.

\[{{U}_{R}}=\frac{1}{2}{{U}_{L}}={{U}_{C}}\].

- Để đơn giản ta chọn một đại lượng  để chuẩn hóa, thông thường chọn  giá trị của đại lượng nhỏ nhất bằng 1, các đại lượng khác sẽ được tính theo tỉ lệ với đại lượng này.

- Ta có thể gán bất kì đại lượng nào trong U_R, U_L, U_C để chuẩn hóa.

Ví dụ ta gán trị số U_R = 1 =>\[{{U}_{L}}=2;{{U}_{C}}={{U}_{R}}=1\]

- Thay vào (1) ta được: \[\tan \varphi =\frac{{{U}_{L}}-{{U}_{C}}}{{{U}_{R}}}=\frac{2-1}{1}=1\to \varphi =\frac{\pi }{4}\]

=>  i trễ pha hơn u một góc  \[\frac{\pi }{4}\]. Chọn  B.

* Nhận xét các cách giải:

- Ở cách giải 1 U_R là một ẩn số bị triệt tiêu trong quá trình tính toán.

- Ở cách giải 2 có ưu thế hơn về mặt tính toán vì chọn trước U_R = 1 đơn vị điện áp.

Câu 2:

Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, cuộn dây thuần cảm. Biết rằng L = C.R². Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện xoay chiều ổn định, mạch có cùng hệ số công suất với hai giá trị của tần số góc w₁ = 50π(rad/s) và w₂ = 200π (rad/s). Hệ số công suất của đoạn mạch bằng            

   A. $\frac{1}{2}$.     B. $\frac{1}{\sqrt{2}}$.              C.  $\frac{2}{\sqrt{13}}$.    D. $\frac{3}{\sqrt{12}}$.

Giải:

Cách 1:

Dấu hiệu nhận biết chính là biểu thức: L = C.R² => Z_L. Z_C  = R²

Dùng công thức:\[\cos \varphi =\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(Z_{L}^{{}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}}\].

Khi tần số thay đổi, ta luôn có f ~ Z_L ~1/Z_C.

Thông thường ta chọn đại lượng chuẩn hóa là Z_L hoặc Z_C ứng với tần số nhỏ nhất.

Chọn đại lượng chuẩn hóa là Z_L, còn Z_C ta chưa biết, khi đó ta có bảng sau

Hệ công suất: cosj₁=  cosj₂ Û \[\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(Z_{L1}^{{}}-{{Z}_{C1}})}^{2}}}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(Z_{L2}^{{}}-{{Z}_{C2}})}^{2}}}}\]

Thế số: \[\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(1-X)}^{2}}}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(4-\frac{X}{4})}^{2}}}}=>1-X=\frac{X}{4}-4\] => X = 4 ; R = 2

Nên \[\cos {{\varphi }_{1}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(1-X)}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(1-4)}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{13}}\]. Chọn  C

Cách 2: Chọn đại lượng chuẩn hóa là Z_C, còn Z_L ta chưa biết, khi đó ta có bảng sau

L = C.R² => R² = Z_L. Z_C = X hay \[R=\sqrt{X}\].

Hệ công suất của mạch cosj₁=  cosj₂ Û\[\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(X-1)}^{2}}}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(4X-\frac{1}{4})}^{2}}}}\]

=>\[X-1=\frac{1}{4}-4X=>X=\frac{1}{4}=>R=\frac{1}{2}\]

=>\[\cos {{\varphi }_{1}}\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(X-1)}^{2}}}}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{{{(\frac{1}{2})}^{2}}+{{(\frac{1}{4}-1)}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{13}}\cdot \]Chọn C

Cách 3: Ta có thể dùng công thức tính nhanh như sau:

Nếu đề bài cho L= kCR²  và tại hai giá trị của tần số góc w₁ và w₂ thì mạch sẽ có cùng hệ số công suất. Khi ấy hệ số công suất sẽ được tính bằng công thức: \[\cos \varphi \frac{1}{\sqrt{1+k{{\left( \sqrt{\frac{{{\omega }_{2}}}{{{\omega }_{1}}}}-\sqrt{\frac{{{\omega }_{1}}}{{{\omega }_{2}}}} \right)}^{2}}}}\]

Thế số ta có: \[\cos \varphi \frac{1}{\sqrt{1+1{{\left( \sqrt{\frac{200\pi }{50\pi }}-\sqrt{\frac{50\pi }{200\pi }} \right)}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1+1{{\left( 2-\frac{1}{2} \right)}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{13}}\]. Chọn C

Chứng minh công thức trên có nhiều cách, nhưng dựa trên quan điểm chuẩn hóa số liệu thì ta thấy rằng cần phải có tỉ số\[n=\frac{{{\omega }_{2}}}{{{\omega }_{1}}}\cdot \]Đối với những  bài thay đổi tần số, thông thường ta phải có được tỉ số giữa các tần số liên quan, sau đó sẽ tiến hành chuẩn hóa thì mọi việc mới dễ dàng.

Câu 3:

Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, cuộn dây thuần cảm. Biết  L = CR². Đặt vào 2 đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều ổn định, mạch có cùng hệ số công suất với hai giá trị của tần số\[{{\omega }_{1}}=50\pi \]rad/s và\[{{\omega }_{2}}=100\pi \]rad/s. Hệ số công suất là

   A. \[\frac{2}{\sqrt{13}}\].      B.$\frac{1}{2}$                   C.\[\frac{1}{\sqrt{2}}\].                       D. \[\sqrt{\frac{2}{3}}\] .

Giải:Cách 1:

\[c\text{os}\varphi =\frac{R}{Z}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(\omega L-\frac{1}{\omega C})}^{2}}}}\]

Hệ số công suất với hai giá trị của tần số\[{{\omega }_{1}}=50\pi \] rad/s và\[{{\omega }_{2}}=100\pi \]rad/s bằng nhau, nên Z₁ = Z₂  

Hay: \[{{({{\omega }_{1}}L-\frac{1}{{{\omega }_{1}}C})}^{2}}={{({{\omega }_{2}}L-\frac{1}{{{\omega }_{2}}C})}^{2}};\]Do ω₁ ≠ ω₂ nên:

Hay Z_L1 = Z_C2.

Cách 2: Nếu đề bài cho L = kCR² và tại hai giá trị của tần số góc w₁ và w₂  thì mạch sẽ có cùng hệ số công suất. Khi ấy hệ số công suất sẽ được tính bằng công thức

Chọn D.

Cách 3: Dấu hiệu nhận biết  chính là biểu thức L = C.R² => Z_L. Z_C = R²

Khi tần số thay đổi, ta luôn có f ~ Z_L ~1/Z_C. Thông thường với những dạng này ta sẽ chọn đại lượng chuẩn hóa là Z_L hoặc Z_C ứng với tần số nhỏ nhất. 

Chọn đại lượng chuẩn hóa là Z_L, còn Z_C  ta chưa biết, khi đó ta có bảng sau

Hệ công suất của mạch cosj₁ = cosj₂

Û\[\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(Z_{L1}^{{}}-{{Z}_{C1}})}^{2}}}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(Z_{L2}^{{}}-{{Z}_{C2}})}^{2}}}}\]

Thế số: \[\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(1-X)}^{2}}}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(2-\frac{X}{2})}^{2}}}}=>1-X=\frac{X}{2}-2\]=> X = 2;\[R=\sqrt{2}\]

Nên \[\cos {{\varphi }_{1}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(1-X)}^{2}}}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+{{(1-2)}^{2}}}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\]. Chọn  D

Câu 4:  Mắc vào đoạn mạch RLC không phân nhánh gồm một nguồn điện xoay chiều có tần số thay đổi được. Ở tần số f₁ = 50Hz, hệ số công suất đạt cực đại cosj₁ = 1. Ở tần số f₂ =100Hz, hệ số công suất nhận giá trị \[\cos {{\varphi }_{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \]Ở tần số f₃ = 75Hz, hệ số công suất của mạch cosj₃ bằng

            A.0,874           B. 0,486                       C. 0,625           D. 0,781

Giải:Cách 1:Khi cosφ₁ = 1 \[\Rightarrow \] Z_L1 = Z_{C1\[\Rightarrow \]}100πL = \[\frac{1}{100\pi .C}\]\[\Rightarrow \] LC = \[\frac{1}{{{(100\pi )}^{2}}}\]  (1)

Khi cosj₂ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$\[\Rightarrow \] j₂ = 45⁰ \[\Rightarrow \] tanj₂ = \[\frac{{{Z}_{L2}}-{{Z}_{C2}}}{R}\] = 1\[\Rightarrow \] R = Z_L2 – Z_C2

tanj₃ = \[\frac{{{Z}_{L3}}-{{Z}_{C3}}}{R}=\frac{{{Z}_{L3}}-{{Z}_{C3}}}{{{Z}_{L2}}-{{Z}_{C2}}}=\frac{150\pi L-\frac{1}{150\pi C}}{200\pi L-\frac{1}{200\pi C}}=\frac{4}{3}.\frac{{{(150\pi )}^{2}}LC-1}{{{(200\pi )}^{2}}LC-1}\]

tanj₃ =  \[\frac{4}{3}\frac{\frac{{{(150\pi )}^{2}}}{{{(100\pi )}^{2}}}-1}{\frac{{{(200\pi )}^{2}}}{{{(100\pi )}^{2}}}-1}=\frac{4}{3}\frac{5}{4.3}=\frac{5}{9}\]\[\Rightarrow \] (tanj₃)² = 25/81

\[\Rightarrow \] \[\frac{1}{{{\cos }^{2}}{{\varphi }_{3}}}=1+\frac{25}{81}=\frac{106}{81}\] \[\Rightarrow \] cosj₃ = 0,874. Chọn A

Cách 2: Dùng Phương pháp chuẩn hóa gán số liệu.

Lúc f₁ = 50 Hz và  cosj­₁ = 1 nên ta có:

Z_L1 = Z_C1 => chuẩn hóa gán số liệu: Z_L1 = Z_C1 = 1  

Lúc f₂ = 100 Hz = 2f₁ thì Z_L2 = 2; Z_C2 = 1/2.

\[\cos {{\varphi }_{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L2}}-{{Z}_{C2}})}^{2}}}}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(2-\frac{1}{2})}^{2}}}}\Rightarrow R=1,5\]

Lúc f₃ = 75 Hz = 1,5f₁  thì Z_L2 = 1,5; Z_C2 = 2/3. Khi đó:

\[\cos {{\varphi }_{3}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L3}}-{{Z}_{C3}})}^{2}}}}=\frac{1,5}{\sqrt{1,{{5}^{2}}+{{(1,5-\frac{2}{3})}^{2}}}}=\frac{9}{\sqrt[{}]{106}}=0,874\]. Chọn A.

Câu 5:  

Mắc vào đoạn mạch RLC không phân nhánh gồm một nguồn điện xoay chiều có tần số thay đổi được. Ở tần số f₁ = 50 Hz, hệ số công suất đạt cực đại\[\cos \varphi =1.\]Ở tần số \[{{f}_{2}}=120Hz,\]hệ số công suất nhận giá trị\[\cos {{\varphi }_{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \]Ở tần số f₃ = 100 Hz, hệ số công suất của mạch có giá trị gần bằng:

     A. 0,87.      B. 0,79.            C.0,62.            D. 0,7.

Giải:Cách giải dùng phương pháp chuẩn hóa gán số liệu:

Tại \[{{f}_{1}}=50\,(Hz)\to c\text{os}{{\varphi }_{1}}=1\Rightarrow {{Z}_{IL}}={{Z}_{IC}}.\]Để đơn giản bài toán:

Gán: \[{{Z}_{IL}}={{Z}_{IC}}=1\]

Chọn  B

Câu 6:  Cho mạch điện xoay chiều gồm R, L, C mắc nối tiếp. Tần số của điện áp hai đầu mạch thay đổi được. Khi tần số là f₁ và 4f₁ công suất trong mạch như nhau và bằng  80% công suất cực đại mà mạch có thể đạt được. Khi f = 3f₁ thì hệ số công suất là

   A. 0,8.          B. 0,53.            C. 0,6.             D. 0,96.

Giải:Cách giải 1: Dùng Phương pháp chuẩn hóa gán số liệu:

Công suất: \[P={{I}^{2}}R=\frac{{{U}^{2}}}{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}R;\]\[{{P}_{\max }}=\frac{{{U}^{2}}}{R}\];\[\cos \varphi =\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}}\]

Theo bài, tỉ lệ giữa các tần số và chọn đại lượng  Z_L để chuẩn hóa, ta có bảng sau

Tại  khi f= 3f₁ thì ta được: Z_L’ = 3x và Z_C’ = $\frac{y}{3}$

Câu 7:  Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, cuộn dây thuần cảm. Các giá trị của điện trở R, độ tự cảm L điện dung C thỏa điều kiện 4L= C.R². Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều ổn định, có tần số thay đổi được (với f  < 125 Hz). Khi tần số f₁ = 60 Hz thì hệ số công suất của mạch điện là k. Khi tần số f₂ =120 Hz thì hệ số công suất của mạch điện là\[{{k}_{2}}=\frac{5}{4}k{}_{1}\cdot \]Khi tần số là f₃ thì hệ số công suất của mạch điện\[{{k}_{3}}=\frac{60}{61}\] là. Giá trị của f₃ gần giá trị nào nhất sau đây?

            A. 65 Hz.        B. 80 Hz.                     C. 100 Hz.       D. 110 Hz

Giải:Cách giải dùng Phương pháp chuẩn hóa gán số liệu:

Đây là dạng tần số thay đổi liên quan đến hệ số công suất. Giả sử f₃ = n.f.

Theo bài, tỉ lệ giữa các tần số và chọn đại lượng Z_L để chuẩn hóa, ta có bảng chuẩn hóa sau

Theo đề: 4L= C.R² Þ   R² = 4Z_L.Z_C .(1) Thế vào biểu thức tổng trở:

Ta có tổng trở:

\[Z=\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=\sqrt{4{{Z}_{L}}.{{Z}_{C}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=\sqrt{Z_{L}^{2}+2{{Z}_{L}}.{{Z}_{C}}+Z_{C}^{2}}={{Z}_{L}}+{{Z}_{C}}\]

- Theo đề: \[{{k}_{2}}=\frac{5}{4}k{}_{1}\]thì \[\cos {{\varphi }_{2}}=\frac{5}{4}\cos {{\varphi }_{1}}\leftrightarrow \frac{R}{{{Z}_{2}}}=\frac{5}{4}.\frac{R}{{{Z}_{1}}}\leftrightarrow \frac{R}{{{Z}_{L2}}+{{Z}_{C2}}}=\frac{5}{4}.\frac{R}{{{Z}_{L1}}+{{Z}_{C1}}}\leftrightarrow \frac{R}{2+\frac{x}{2}}=\frac{5}{4}.\frac{R}{1+x}\]

=> \[\frac{1}{2+\frac{x}{2}}=\frac{5}{4}.\frac{1}{1+x}\to x=4\]; R = 4

- Theo đề:\[{{k}_{3}}=\frac{60}{61}\] hay:

\[\cos {{\varphi }_{3}}=\frac{R}{{{Z}_{3}}}=\frac{60}{61}\leftrightarrow \frac{R}{{{Z}_{L3}}+{{Z}_{C3}}}=\frac{60}{61}\leftrightarrow \frac{4}{n+\frac{4}{n}}=\frac{60}{61}\leftrightarrow \frac{n}{{{n}^{2}}+4}=\frac{60}{61}\]

=>\[60{{n}^{2}}-244n+240=0\] (1)

Phương trình (1) có 2 nghiệm: n₁ = $\frac{5}{3}$ => f₃ = 100 Hz; n₂ = $\frac{12}{5}$ => f₃ = 144 Hz.

Giả thiết cho f < 125 Hz nên chọn giá trị f₃ = 100Hz. Chọn C.  

Trong ví dụ tiếp theo mặc dù không có tỉ lệ giữa các tần số nhưng vẫn có thể tìm được tần số này thông qua tần số khác bằng cách gián tiếp là tìm tỉ số giữa chúng.

Câu 8:  

Cho đoạn mạch RLC nối tiếp, với tần số f thay đổi được. Thay đổi f  =  f₀ + 75 Hz thì U_L = U. Thay đổi  f = f₀  thì U_C = U và \[\frac{R+{{Z}_{L}}}{R+{{Z}_{C}}}=\frac{2}{3}\cdot \] Với U là điện áp hiệu dụng đặt vào hai đầu đoạn mạch. Giá trị của f₀ gần giá trị nào nhất sau đây?

   A. 25 Hz.      B. 45 Hz.              C. 60 Hz.    D. 80 Hz.  

Giải:Chuẩn hóa Z_L = 1 khi f = f₀. Ta có bảng sau:

Khi f = f₀ thì U_C = U

=> Z_C =\[Z=\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}\]  => \[{{x}^{2}}={{R}^{2}}+{{(1-x)}^{2}}\] => \[x=\frac{{{R}^{2}}+1}{2}\] (1).

Theo bài: \[\frac{R+{{Z}_{L}}}{R+{{Z}_{C}}}=\frac{2}{3}\]=> \[\frac{R+1}{R+x}=\frac{2}{3}\]=>R - 2x + 3 = 0 (2).

Thế (1) vào (2) ta được R = 2; x = 5/2

Khi tần số là f thì U_L = U=>Z_L = Z =>\[{{Z}^{2}}={{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}\]

=> \[{{n}^{2}}={{2}^{2}}+{{(n-\frac{5}{2n})}^{2}}\]=> \[n=\frac{5}{2}\] (3).

Ta có: f = f₀ + 75 Hz Û nf = f₀ + 75 Hz ó $\frac{5f}{2}$ = f₀ +75 Hz => f₀ = 50 Hz.           

Chọn B.

Câu 9 (ĐH - 2009):

Đặt điện áp u = U₀coswt vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, tụ điện và cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được. Biết dung kháng của tụ điện bằng \[R\sqrt{3}.\]Điều chỉnh L để điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt cực đại, khi đó

   A. điện áp giữa hai đầu điện trở lệch pha π/6 so với điện áp giữa hai đầu đoạn mạch.

   B. điện áp giữa hai đầu tụ điện lệch pha π/6  so với điện áp giữa hai đầu đoạn mạch.

   C. trong mạch có cộng hưởng điện.

   D. điện áp giữa hai đầu cuộn cảm lệch pha π/6  so với điện áp giữa hai đầu đoạn mạch

Giải:Cách 1:Vẽ giản đồ vectơ… chỉnh L để U_Lmax dùng định lý hàm sin ta có:

$\frac{{{U}_{L}}}{\sin \left( \overset{\to }{\mathop{U}}\,;\overset{\to }{\mathop{{{U}_{RC}}}}\, \right)}=\frac{U}{\sin \left( \overset{\to }{\mathop{{{U}_{RC}}}}\,;\overset{\to }{\mathop{{{U}_{L}}}}\, \right)}\Rightarrow {{U}_{L\max }}=\frac{U}{\sin \left( \overset{\to }{\mathop{{{U}_{RC}}}}\,;\overset{\to }{\mathop{{{U}_{L}}}}\, \right)}$ = const.

Góc tạo bởi $\left( \overset{\to }{\mathop{U}}\,;\overset{\to }{\mathop{{{U}_{RC}}}}\, \right)$= $\frac{\pi }{2}$.

Đặt α = $\left( \overset{\to }{\mathop{{{U}_{L}}}}\,;\overset{\to }{\mathop{{{U}_{RC}}}}\, \right)$với tan\[\alpha =\frac{{{Z}_{c}}}{R}=\sqrt{3}\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{3}\] mà $\overset{\to }{\mathop{U}}\,$ vuông pha với $\overset{\to }{\mathop{{{U}_{RC}}}}\,$

Nên từ giản đồ vectơ ta có: $\overset{\to }{\mathop{{{U}_{R}}}}\,$ lệch pha $\frac{\pi }{6}$ so với $\overset{\to }{\mathop{U}}\,$. Chọn A. 

Cách 2: Dùng phương pháp chuẩn hóa gán số liệu:

L thay đổi để U_L đạt cực đại nên: \[{{Z}_{L}}=\frac{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}{{{Z}_{C}}}=\frac{{{1}^{2}}+\sqrt{3}_{{}}^{2}}{\sqrt[{}]{3}}=\frac{4}{\sqrt[{}]{3}}\]

\[\tan \varphi =\frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}=\frac{\frac{4}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}}{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}\]=> j = π/6. Chọn A

* Nhận xét các cách giải: Cách giải 2 có ưu thế hơn về mặt tính toán, nhanh hơn! Nhưng phương pháp giản đồ vectơ vẫn quen thuộc hơn!

Câu 10 (ĐH-2010):  Nối hai cực của một máy phát điện xoay chiều một pha vào hai đầu đoạn mạch AB gồm điện trở thuần R mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần. Bỏ qua điện trở các cuộn dây của máy phát. Khi rôto của máy quay đều với tốc độ n vòng/phút thì cường độ dòng điện hiệu dụng trong đoạn mạch là 1A. Khi rôto của máy quay đều với tốc độ 3n vòng/phút thì cường độ dòng điện hiệu dụng trong đoạn mạch là $\sqrt{3}$A. Nếu rôto của máy quay đều với tốc độ 2n vòng/phút thì cảm kháng của đoạn mạch AB là

   A. \[\frac{R}{\sqrt{3}}\].      B. R\[\sqrt{3}\].           C. \[\frac{2R}{\sqrt{3}}\].                  D. \[2R\sqrt{3}\].

Giải:

Cách 1:

 Khi tần số f₁ = n vòng/phút thì :    \[{{U}_{1}}^{2}=I({{R}^{2}}+Z_{L1}^{2})={{R}^{2}}+Z_{L1}^{2};I=1A(1)\].

Khi tần số là f₂ = 3n vòng/phút thì \[U_{2}^{2}=3({{R}^{2}}+Z_{L2}^{2})\quad (2)\].

Khi tần số dao động là f₃ = 2n vòng/phút thì \[{{U}_{3}}^{2}=I({{R}^{2}}+Z_{L3}^{2})\quad (3)\] .

Từ (2) và (1), suy ra:\[{{U}_{2}}=3{{U}_{1}}\to {{Z}_{2}}=3{{Z}_{1}},\]thay vào (2) ta được: \[3{{U}_{1}}^{2}={{R}^{2}}+9{{Z}_{1}}^{2}(4)\].

Từ (1) và (4), suy ra \[{{Z}_{1}}=\frac{R}{\sqrt{3}}\],suy ra \[{{Z}_{3}}=2{{Z}_{1}}=\frac{2R}{\sqrt{3}}\]. Chọn C.

Cách 2:

Cường độ dòng điện trong mạch \[I=\frac{U}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}\].

Chú ý các đại lượng tỉ lệ thuận với nhau n ~f~ Z_L~U 

Ta có bảng chuẩn hóa:

Khi n₁ = n và n₂ = 3n   thì \[{{I}_{2}}=\sqrt{3}{{I}_{1}}\] \[\Leftrightarrow \frac{3}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\sqrt{3}.\frac{1}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{1}^{2}}}}\]=> \[R=\sqrt{3}\]

Khi n₃ = 2₂ = 3n thì \[{{Z}_{L3}}=2\]=> \[\frac{{{Z}_{L3}}}{R}=\frac{2}{\sqrt{3}}=>{{Z}_{L3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}R.\] Chọn C.  

Câu 11 (ĐH-2011):  

Đặt điện áp \[u=U\sqrt{2}c\text{os}2\pi ft\](U không đổi, tần số f thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C. Khi tần số là f₁ thì cảm kháng và dung kháng của đoạn mạch có giá trị lần lượt là 6 \[\Omega \] và 8\[\Omega .\] Khi tần số là f₂ thì hệ số công suất của đoạn mạch bằng 1. Hệ thức liên hệ giữa f₁ và f₂ là

            A.f₂=$\frac{4}{3}$ f₁                 B. f₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$f₁ C.f₂=$\frac{2}{\sqrt{3}}$f₁  D. f₂=$\frac{3}{4}$ f₁ 

Cách 2:

Giả sử f₂ = nf₁ (1)

Ta có: Z_L1 = 6 => Z_L2 = 6n ; Z_C1 = 8 => Z_C2 = $\frac{8}{n}$.

Theo đề khi f₂ = nf₁ thì cosj = 1 nên có cộng hưởng, suy ra: Z_L2 = Z_C2

Hay: 6n = $\frac{8}{n}$ => n=\[n=\frac{2}{\sqrt{3}}\]  (2). Từ (1)  và (2) => f₂=$\frac{2}{\sqrt{3}}$ f₁Þ Chọn C.

Câu 12 (ĐH- 2013):Đặt điện áp \[u=120\sqrt{2}c\text{os}2\pi ft\](V) (f thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, điện trở R và tụ điện có điện dụng C, với       CR² < 2L. Khi f = f₁ thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện đạt cực đại. Khi f = f₂ = \[{{f}_{1}}\sqrt{2}\] thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu điện trở đạt cực đại. Khi f = f₃ thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt cực đại U_Lmax. Giá trị của U_Lmax gần giá trị nào nhất sau?

   A. 173 V.                  B. 57 V.           C. 145V.         D. 85 V.

Giải:

Cách 1:

Þ Giá trị gần nhất là 145 V. Chọn C.

Cách 2: Dùng phương pháp Chuẩn hóa gán số liệu.

f₂ = f_{1\[\sqrt[{}]{2}\]}=> Chọn f₁ =1 => f₂ =\[\sqrt[{}]{2}\].

Mặt khác theo bài suy ra:\[{{f}_{1}}{{f}_{3}}=f_{2}^{2}\] => \[{{f}_{1}}{{f}_{3}}=f_{2}^{2}\] =>\[{{f}_{3}}=\frac{f_{2}^{2}}{{{f}_{1}}}=\frac{{{\sqrt{2}}^{2}}}{1}=2\]           

Ta có: \[{{\left( \frac{U}{{{U}_{L\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{f}_{1}}}{{{f}_{3}}} \right)}^{2}}=1\]

=> \[{{\left( \frac{120}{{{U}_{L\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=1\to {{\left( \frac{120}{{{U}_{L\max }}} \right)}^{2}}=\frac{3}{4}=>{{U}_{L\max }}=80\sqrt{3}V\]. Chọn C. 

Câu 13 (ĐH - 2014):

Đặt điện áp \[u=U\sqrt{2}c\text{os}2\pi ft\](f thay đổi được, U tỉ lệ thuận với f) vào hai đầu đoạn mạch AB gồm đoạn mạch AM mắc nối tiếp với đoạn mạch MB. Đoạn mạch AM gồm điện trở thuần R mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung C, đoạn mạch MB chỉ có cuộn cảm thuần có độ tự cảm L. Biết 2L > R²C. Khi f = 60 Hz hoặc f = 90 Hz thì cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch có cùng giá trị. Khi f = 30 Hz hoặc f = 120 Hz thì điện áp  hiệu dụng hai đầu tụ điện có cùng giá trị. Khi f = f₁ thì điện áp ở hai đầu đoạn mạch MB lệch pha một góc 135⁰ so  với điện áp ở hai đầu đoạn mạch AM. Giá trị của f₁ bằng.

   A. 60 Hz.      B. 80 Hz.                     C. 50 Hz.         D. 120 Hz.

Giải:

Cách 1: Phương pháp đại số thông thường

 (w₃ + w₄)L = $\frac{1}{\omega₃C }$ + $\frac{1}{\omega₄C }$ 

Þ w₃w₄ = $\frac{1}{LC}$ Þ $\frac{1}{LC}$ = 4p².30.120 (**)

Khi  f = f₁ ta có giãn đồ vec tơ như hình vẽ

Chọn B.

Cách 2: Dùng phương pháp chuẩn hóa gán số liệu.

* Khi  f = 30Hz thì ta gán:U =1V; Z_L =1W; ZC = xW ta lập bảng sau:

* Trường hợp f = 30Hz và f = 120Hz thấy Uc bằng nhau nên ta có:

   \[{{U}_{C3}}={{U}_{C4}}\leftrightarrow \frac{{{U}_{3}}.{{Z}_{C3}}}{{{Z}_{3}}}=\frac{{{U}_{4}}.{{Z}_{C4}}}{{{Z}_{4}}}\leftrightarrow \frac{1x}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(1-x)}^{2}}}}=\frac{4\frac{x}{4}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(1-\frac{x}{4})}^{2}}}}\]

=>\[1-x=\frac{x}{4}-4=>x=4\]

* Trường hợp f = 60Hz và f = 90Hz ta thấy I bằng nhau nên ta có (Thế x = 4 vào)

* Điện áp U_MB lệch 135⁰ với điện áp U_AM, mà U_MB hướng thẳng đứng lên.

Suy ra điện áp U_AM  hợp với trục dòng điện góc 45⁰.

Do  vậy Z_C = \[R=\frac{2\sqrt{5}}{3}\]=>\[\frac{30}{{{f}_{1}}}=\frac{2\sqrt{5}}{3.4}=>{{f}_{1}}=36\sqrt{5}Hz.\]Chọn B.

* Nhận xét các cách giải: Cách giải 2 có ưu thế hơn, gọn gàng hơn về mặt tính toán,phù hợp với cách làm trắc nghiệm, ít dùng công thức hơn!

Câu 14: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, cuộn dây thuần cảm. Các giá trị điện trở R, độ tự cảm L và điện dung C thỏa điều kiện R = $\sqrt{\frac{L}{C}}$ . Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều ổn định, có tần số của dòng điện thay đổi được. Khi tần số góc của dòng điện là $\omega$₁ hoặc $\omega$₂= 4 $\omega$₁ thì mạch điện có cùng hệ số công suất. Hệ số công suất của đoạn mạch đó bằng   

    A. $\frac{3}{\sqrt{13}}$.               B. $\frac{3}{\sqrt{12}}$.                C. $\frac{5}{\sqrt{12}}$ .         D. $\frac{2}{\sqrt{13}}$

Cách 1: Dùng phương pháp thông thường

Cách 2: Dùng phương pháp chuẩn hóa gán số liệu.

\[R=\sqrt{\frac{L}{C}}=\sqrt{{{Z}_{L}}.{{Z}_{C}}}=>{{R}^{2}}={{Z}_{L}}.{{Z}_{C}}\]

Khi tần số thay đổi, ta luôn có f ~ Z_L ~1/Z_C. Thông thường với dạng này ta sẽ chọn đại lượng chuẩn hóa là Z_L hoặc Z_C ứng với tần số nhỏ nhất. 

Chọn đại lượng chuẩn hóa là Z_L, còn Z_C  ta chưa biết, ta có bảng sau:

Hệ công suất của mạch cosj₁ = cosj₂

Û\[\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(Z_{L1}^{{}}-{{Z}_{C1}})}^{2}}}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(Z_{L2}^{{}}-{{Z}_{C2}})}^{2}}}}\]

Thế số: \[\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(1-X)}^{2}}}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(4-\frac{X}{4})}^{2}}}}=>1-X=\frac{X}{4}-4\]=> X = 4;\[R=2\]

Nên \[\cos {{\varphi }_{1}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(1-X)}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(1-4)}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{13}}\]. Chọn  D.

Câu 15: Ba điểm O, A, B cùng nằm trên một nửa đường thẳng xuất phát từ O theo thứ tự, tỉ số giữa cường độ âm tại A và B là \[\frac{{{I}_{A}}}{{{I}_{B}}}=\frac{16}{9}\cdot \]Một điểm M nằm trên đoạn OA, cường độ âm tại M bằng \[\frac{1}{4}({{I}_{A}}+I{}_{B}).\] Tỉ số \[\frac{OM}{OA}\]là:

  A. \[\frac{8}{5}\].                  B. \[\frac{5}{8}\].                    C. \[\frac{16}{25}\].                D. \[\frac{25}{16}\].

Giải:

Dùng chuẩn hóa số liệu:

\[=>\frac{{{I}_{A}}}{{{I}_{M}}}={{\left( \frac{{{r}_{M}}}{{{r}_{A}}} \right)}^{2}}=\frac{64}{25}=>\frac{{{r}_{M}}}{{{r}_{A}}}=\frac{8}{5}\cdot \] Chọn  A

Câu 16:

Nguồn âm tại O có công suất không đổi. Trên cùng đường thẳng qua O có 3 điểm A, B, C cùng nằm về một phía của O và theo thứ tự ta có khoảng cách tới nguồn tăng dần. Mức cường độ âm tại B kém mức cường độ âm tại A là a (dB), mức cường độ âm tại B hơn mức cường độ âm tại C là 3a (dB). Biết \[OA=\frac{2}{3}OB.\]Tính tỉ số OC/OA.

  A. $\frac{81}{16}$. B. $\frac{32}{27}$.                 C. $\frac{72}{81}$.                D. $\frac{64}{27}$.

Giải:

\[{{L}_{A}}-{{L}_{B}}=10log{{\left( \frac{{{r}_{B}}}{{{r}_{A}}} \right)}^{2}}=20log\left( \frac{{{r}_{B}}}{{{r}_{A}}} \right)=a\]

\[{{L}_{B}}-{{L}_{C}}=10log{{\left( \frac{{{r}_{C}}}{{{r}_{B}}} \right)}^{2}}=20log\left( \frac{{{r}_{C}}}{{{r}_{B}}} \right)=3a\]

Suy ra: \[3log\left( \frac{{{r}_{B}}}{{{r}_{A}}} \right)=log\left( \frac{{{r}_{C}}}{{{r}_{B}}} \right)=>\frac{{{r}_{C}}}{{{r}_{B}}}={{\left( \frac{{{r}_{B}}}{{{r}_{A}}} \right)}^{3}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{3}}=\frac{27}{8}\]

Câu 17:

Ba điểm O, A, B nằm trên một đường thẳng xuất phát từ O. Tại O đặt một nguồn điểm phát sóng âm đẳng hướng ra không gian, môi trường không hấp thụ âm. Mức cường độ âm tại A là 60 dB, tại B là 20 dB. Mức cường độ âm tại trung điểm M của đoạn AB là

  A. 40 dB.       B. 34 dB.         C. 26 dB.         D. 17 dB.

Giải:

Áp dụng công thức: \[{{L}_{A}}-{{L}_{B}}=10log{{\left( \frac{{{r}_{B}}}{{{r}_{A}}} \right)}^{2}}=20log\left( \frac{{{r}_{B}}}{{{r}_{A}}} \right)\]

Theo đề ta có:\[{{L}_{A}}-{{L}_{B}}=40=20log\left( \frac{{{r}_{B}}}{{{r}_{A}}} \right)=>log\left( \frac{{{r}_{B}}}{{{r}_{A}}} \right)=2=>{{r}_{B}}=100{{r}_{A}}\]

Dùng chuẩn hóa số liệu: Chọn   r_A =1 => r_B =100

Ta có:\[{{r}_{M}}=\frac{{{r}_{A}}+{{r}_{B}}}{2}=50,5\]

Mặt khác:\[{{L}_{M}}-{{L}_{A}}=20log\left( \frac{{{r}_{A}}}{{{r}_{M}}} \right)\Leftrightarrow {{L}_{M}}-60=20log\left( \frac{1}{50,5} \right)\]

\[\Rightarrow {{L}_{M}}=20log\left( \frac{1}{50,5} \right)+60=-34,066+60=25,9dB=26dB.\]Chọn  C

Câu 18:

Hiện nay urani tự nhiên chứa hai đồng vị phóng xạ \[{}^{235}U\] và \[{}^{238}U\]với tỷ lệ số hạt \[{}^{235}U\] và số hạt \[{}^{238}U\] là $\frac{7}{100}$. Biết chu kì bán rã của \[{}^{235}U\]và \[{}^{238}U\] lần lượt là 7,00.10⁸ năm và 4,5.10⁹ năm. Cách đây bao nhiêu năm, urani tự nhiên có tỷ lệ số hạt \[{}^{235}U\] và số hạt \[{}^{238}U\] là $\frac{3}{100}$3/100 ?

            A. 2,74 tỉ năm.            B. 1,74 tỉ năm.          C. 3,25 tỉ năm.         D. 2,22 tỉ năm.

Giải:Dùng chuẩn hóa số liệu:

\[t=1,{{74.10}^{9}}\]năm. Chọn  B.

Bài viết gợi ý: