PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
I/ LÝ THUYẾT
1/
Để chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi $n\in {{N}^{*}}$ , ta thường
dùng phương pháp quy nạp toán học, được tiến hành như sau:
Bước 1 (bước
cơ sở): Kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = 1
Bước 2 (bước
quy nạp): Giả thiết mệnh đề P(n) đúng với một số tự nhiên bất kì $n=k,(k\ge 1)$
(ta gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1. Khi đó,
theo nguyên lí quy nạp toán học, ta kết luận mệnh đề P(n) đúng với mọi $n\in {{N}^{*}}$
2/
Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi số tự nhiên $n\ge
p$ (p là số tự nhiên) thì:
+ Ở bước
1 ta kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n =
p
+ Ở bước 2,
ta giả thiết mệnh đề P(n) đúng với một số tự nhiên bất kì n = k,$\left( k\ge p
\right)$ và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1
3/
Phép thử với một số hữu hạn số tự nhiên tuy không phải là chứng minh nhưng cho
phép ta dự đoán được kết quả. Kết quả này chỉ là giả thiết và để chứng minh ta
có thể dùng phương pháp quy nạp toán học
Một số bài
toán thường gặp:
+ Chứng minh
các mệnh đề toán học liên quan đến lập luận logic
+ Chứng minh
các đẳng thức, bất đẳng thức
+ Dự đoán kết
quả và chứng minh
II/ VÍ DỤ
VD 1: Chứng minh răng với mọi $n\in {{N}^{*}}$ ta có đẳng thức:
$2+5+8+...+3n-1=\frac{n(3n+1)}{2}$
Giải:
Với n = 1,
ta có VT = VP = 2
Vậy hệ thức
đúng với n = 1
Giả sử đẳng
thức đứng với $n=k\ge 1$ tức là:
$2+5+8+..+3k-1=\frac{k(3k+1)}{2}$
Ta phải chứng
minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là
$2+5+8+...+\left[
3\left( k+1 \right)-1 \right]=\frac{\left( k+1 \right)\left[ 3\left( k+1 \right)+1
\right]}{2}$
Thật vậy, thừ
giả thiết quy nạp, ta có
${{S}_{k+1}}={{S}_{k}}+3k+2=\frac{k(3k+1)}{2}+3k+2=\frac{3{{k}^{2}}+k+6k+4}{2}$
$=\frac{3({{k}^{2}}+2k+1)+k+1}{2}=\frac{(k+1)\left[
3\left( k+1 \right)+1 \right]}{2}$
Vậy mệnh đề
đã được chứng minh.
VD 2: Chứng minh rằng với mọi $n\in {{N}^{*}}$ ta luôn có:
${{n}^{3}}+3{{n}^{2}}+5n$
chia hết cho 3
Giải:
Với n = 1,
ta có ${{S}_{1}}=9$ chia hết cho 3
Giả sử với $n=k\ge
1$ , ta có ${{S}_{k}}=({{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+5k)$ chia hết cho 3
Ta phải chứng
minh rằng ${{S}_{k+1}}$ chia hết cho 3
Thật vậy
${{S}_{k+1}}={{(k+1)}^{3}}+3{{(k+1)}^{2}}+5(k+1)$
$={{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+3k+1+3{{k}^{2}}+6k+3+5k+5$
$={{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+5k+3{{k}^{2}}+9k+9$
Hay ${{S}_{k+1}}={{S}_{k}}+3({{k}^{2}}+3k+3)$
Theo giả thiết
quy nạp thì ${{S}_{k}}$ chia hết cho 3 mặt khác $3({{k}^{2}}+3k+3)$ chia hết
cho 3 nên $S{{ & }_{k+1}}$ chia hết cho 3
Vậy với mọi $n\in
{{N}^{*}}$ ta có ${{n}^{3}}+3{{n}^{2}}+5n$ chia hết cho 3
VD 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$ thì ${{3}^{n}}>3n+1$
Giải:
Với n = 2,
ta có VT = 8 > 7 = VP
Mệnh đề đúng
với n = 2
Giả sử mệnh
đề đúng với $n=k\ge 2$ tức là ${{3}^{k}}>3k+1$
Ta cần chứng
minh mệnh đề đúng với n = k + 1, nghĩa là
${{3}^{k+1}}>3(k+1)+1$
Thật vậy,
${{3}^{k}}>3k+1\Leftrightarrow
{{3}^{k+1}}>9k+3\Leftrightarrow {{3}^{k+1}}>3k+4+6k-1$
Vì $6k-1>0$
nên ${{3}^{k+1}}>3k+4=3(k+1)+1$
Tức là mệnh
đề đúng với n = k + 1
Vậy với mọi
số tự nhiên $n\ge 2$ thì ${{3}^{n}}>3n+1$
VD 4: Cho tổng ${{S}_{n}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{2}{n(n+1)}$
với mọi $n\in {{N}^{*}}$ . Dự đoán công thức tính tổng ${{S}_{n}}$ và chứng minh bằng quy nạp
Giải:
Ta có:
${{S}_{1}}=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2}$
${{S}_{2}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}=\frac{2}{3}$
${{S}_{3}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{3}{4}$
Ta dự đoán ${{S}_{n}}=\frac{n}{n+1}$
với mọi $n\in {{N}^{*}}$
*Chứng minh:
Với n = 1, ${{S}_{1}}=\frac{1}{2}$
. Mệnh đề đúng với n = 1
Giả sử mệnh
đề đúng với $n=k\ge 1$ , tức là
${{S}_{k}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}$
Ta cần chứng
minh mệnh đề đúng với n = k + 1, nghĩa là
${{S}_{k+1}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2}$
Thật vậy, ta
có:
${{S}_{k+1}}={{S}_{k}}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{{{k}^{2}}+2k+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2}$
Tức là mệnh
đề đúng với n = k + 1
Vậy ${{S}_{n}}=\frac{n}{n+1}$
với mọi $n\in {{N}^{*}}$
III/ BÀI TẬP
Bài 1: Chứng minh với $\forall n\in {{N}^{*}}$ thì:
a/ $1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$
b/ ${{1}^{2}}+{{2}^{2}}+...+{{n}^{2}}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
c/ ${{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+...+{{n}^{3}}=\frac{{{n}^{2}}{{(n+1)}^{2}}}{4}$
d/ $1.4+2.7+...+n(3n+1)=n{{(n+1)}^{2}}$
Bài 2: Chứng
minh với $\forall n\in {{N}^{*}}$ ta luôn có:
a/ ${{n}^{3}}+2n$
chia hết cho 3
b/ ${{10}^{n}}+18n-28$
chia hết cho 27
c/ ${{5.2}^{2n-2}}+{{3}^{3n-1}}$
chia hết cho 19
d/ ${{5}^{2n+1}}+{{2}^{n+4}}+{{2}^{n+1}}$
chia hết cho 23
Bài 3:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có bất đẳng thức: a/ $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}$
b/ $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1$
Bài 4: Chứng
minh rằng mọi số tự nhiên $n\ge 3$ ta luôn có:
${{2}^{n}}>2n+1$
Bài 5: Chứng
minh rằng với mọi số nguyên n không âm, ta có:
${{3}^{3n+3}}-26n-27$
chia hết cho 169
