Phương trình elip

PHƯƠNG TRÌNH ELIP

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

Cho hai điểm cố định F₁, F₂, với F₁F₂ = 2c > 0.

Elip là tập hợp những điểm M sao cho MF₁ + MF₂ = 2a không đổi (a > c).

Hai điểm F₁, F₂ gọi là hai tiêu điểm của Elíp.
Khoảng cách F₁F₂ = 2c gọi là tiêu cự của Elíp.
Trung điểm I của F₁F₂ gọi là tâm của Elíp.
Với điểm M thuộc Elíp thì các khoảng cách MF₁ và MF₂ gọi là các bán kính qua tiêu của điểm M.

II. Phương trình chính tắc của Elip

(E): \[\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\]

Elíp (E) có hai tiêu điểm F1(-c; 0), F2(c; 0) với $c=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}$ hay ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}$
M(x; y)Î(E): MF₁ + MF₂ = 2a

Công thức tính bán kính qua tiêu

III. Hình dạng Elip

Elip (1) nhận trục hoành, trục tung làm trục đối xứng, gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
Cắt trục hoành tại A1(-a; 0), A2(a; 0)
đoạn thẳng A1A2 gọi là trục lớn của (E), độ dài trục lớn bằng A1A2 = 2a.
Cắt trục tung tại B1(0; -b); B2(0; b)
đoạn thẳng B1B2 gọi là trục nhỏ của (E), độ dài trục nhỏ bằng B1B2 = 2b
Bốn điểm A1, A2, B1, B2 gọi là bốn đỉnh của Elíp (E).
Hình chữ nhật cơ sở: Các đường thẳng qua bốn đỉnh, song song với các trục, cắt nhau tạo thành hình chữ nhật, gọi là hình chữ nhật cơ sở của Elip (E).

IV. Tâm sai $e=\frac{c}{a}$

$0
Do $c=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}$ nên Nếu e càng gần 0 thì Elip càng tròn, Nếu e càng gần 1 thì Elip càng dẹt.
Đường thẳng ${{\Delta }_{1}}:x=-\frac{a}{e}$ gọi là đường chuẩn ứng với tiêu điểm ${{F}_{1}}$
Đường thẳng ${{\Delta }_{2}}:x=\frac{a}{e}$ gọi là đường chuẩn ứng với tiêu điểm ${{F}_{2}}$.
Tính chất: $\frac{M{{F}_{1}}}{d\left( M;{{\Delta }_{1}} \right)}=\frac{M{{F}_{2}}}{d\left( M;{{\Delta }_{2}} \right)}=e$

B. Bài tập minh họa

Dạng 1: Viết phương trình chính tắc của elip

Ta luôn gọi PT chính tắc của elip là ; chú ý quan hệ giữa a,b,c là \[c=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}\].

Câu 1: Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong các trường hợp sau:

1) (E) đi qua điểm \[M\left( \frac{3}{\sqrt{5}};\frac{4}{\sqrt{5}} \right)\] và M nhìn hai tiêu điểm\[{{F}_{1}},{{F}_{2}}\] dưới một góc vuông.

2) (E) đi qua \[M\left( \sqrt{3};\frac{\sqrt{6}}{2} \right)\] và một tiêu điểm F nhìn trục nhỏ dưới góc \[{{60}^{0}}\].

3) Hai tiêu điểm, hai đỉnh nằm trên trục nhỏ của $\left( E \right)$ cùng nằm trên một đường tròn $\left( C' \right)$ sao cho $\left( C' \right)$ tiếp xúc với đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x+12=0$.

Giải

1) Do (E) đi qua M nên \[\frac{9}{5{{a}^{2}}}+\frac{16}{5{{b}^{2}}}=1\] (1); Lại có \[\angle {{F}_{1}}M{{F}_{2}}={{90}^{0}}\Leftrightarrow OM=\frac{1}{2}{{F}_{1}}{{F}_{2}}=c\Leftrightarrow c=\sqrt{5}\]

Như vậy ta có hệ điều kiện

Giải hệ ta được \[{{a}^{2}}=9;{{b}^{2}}=4\Rightarrow (E):\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\].

Trường hợp tổng quát khi \[\angle {{F}_{1}}M{{F}_{2}}=\alpha \] cho trước dành cho bạn đọc.

2) Tiêu điểm F nhìn trục nhỏ dưới góc \[{{60}^{0}}\]nên tam giác \[F{{B}_{1}}{{B}_{2}}\] đều (\[{{B}_{1}},{{B}_{2}}\] là hai đỉnh trên trục nhỏ), suy ra \[c=b\sqrt{3}\Rightarrow a=2b\], từ đó tìm ra \[(E):\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{\frac{9}{4}}=1\] (trường hợp \[\angle {{B}_{1}}F{{B}_{2}}=\alpha \] ta vẫn làm tương tự).

3) Ta có ngay \[b=c\]. Đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm \[I\left( 4;0 \right)\], bán kính R=2 và đường tròn \[\left( C' \right)\] có tâm \[O\left( 0;0 \right)\], bán kính \[R'=b\].

+) Nếu (C) và (C') tiếp xúc trong thì \[OI=\left| R-b \right|\Leftrightarrow 4=\left| b-2 \right|\Leftrightarrow b=6\Rightarrow a=6\sqrt{2}\].

Do đó PT của \[\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{72}+\frac{{{y}^{2}}}{36}=1\].

+) Nếu (C) và (C') tiếp xúc ngoài nhau thì \[OI=R+b\Leftrightarrow 4=b+2\Leftrightarrow b=2\Rightarrow a=\sqrt{8}\].

Do đó PT của \[\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{8}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\].

Dạng 2: Tìm các điểm thuộc Elip thỏa mãn điều kiện cho trước

Với dạng bài này ta chú ý tới công thức bán kính qua tiêu: \[M(x;y)\in (E)\] thì \[M{{F}_{1}}=a+ex;M{{F}_{2}}=a-ex\].

Câu 2: Cho elíp \[(E):\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{y}^{2}}}{1}=1\].

1) Tìm điểm \[M\in (E)\] sao cho \[M{{F}_{1}}=2M{{F}_{2}}\].

2) Tìm điểm \[M\in (E)\] sao cho M nhìn hai tiêu điểm \[{{F}_{1}},{{F}_{2}}\] một góc \[{{120}^{0}}\].

3) Tìm điểm \[M\in (E)\]sao cho \[\angle M{{F}_{1}}{{F}_{2}}={{120}^{0}}\].

Giải

1) Gọi \[M(x;y)\Rightarrow M{{F}_{1}}=2+\frac{\sqrt{3}}{2}x;M{{F}_{2}}=2-\frac{\sqrt{3}}{2}x\]. Từ \[M{{F}_{1}}=2M{{F}_{2}}\Rightarrow x=\frac{4}{3\sqrt{3}}\].

Từ đó tìm ra \[y=\pm \frac{\sqrt{23}}{3\sqrt{3}}\]. Vậy có hai điểm M cần tìm là \[M\left( \frac{4}{3\sqrt{3}};\pm \frac{\sqrt{23}}{3\sqrt{3}} \right)\].

2) Theo định lý côsin trong tam giác \[M{{F}_{1}}{{F}_{2}}\] ta có: \[4{{c}^{2}}={{F}_{1}}F_{2}^{2}=MF_{1}^{2}+MF_{2}^{2}-M{{F}_{1}}.M{{F}_{2}}.\cos {{120}^{0}}\]

Ta được một PT bậc hai ẩn x.

3) Trong trường hợp này trước hết ta xét điểm M nằm phía trên trục hoành.

Khi đó có hệ số góc là \[k=\tan {{120}^{0}}=-\sqrt{3}\] nên viết được PT đường thẳng\[M{{F}_{1}}\]. Từ đó tìm ra một điểm \[{{M}_{1}}\]

Ta sẽ có hai đáp số đó là \[{{M}_{1}}\] và điểm \[{{M}_{2}}\] đối xứng với \[{{M}_{1}}\] qua trục hoành.

Nhận xét: Trong cả hai trường hợp trên ta đều có thể thay góc \[\angle {{F}_{1}}M{{F}_{2}}=\alpha \] và \[\angle M{{F}_{1}}{{F}_{2}}=\alpha \] với \[\alpha \]bất kì.

Câu 3: (ĐH KA năm 2011). Cho elíp \[(E):\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{y}^{2}}}{1}=1\]. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E) , có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.

Giải

Gọi \[A(x;y)\Rightarrow B(x;-y);\text{ }x>0\]. Ta có \[AB=2\left| y \right|=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\]

Gọi H là trung điểm AB thì \[OH=x\Rightarrow {{S}_{OAB}}=\frac{1}{2}.OH.AB=\frac{1}{2}x.\sqrt{4-{{x}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{x}^{2}}(4-{{x}^{2}})}\le 1\].

Đẳng thức xảy ra khi \[x=\sqrt{2}\]. Vậy \[A\left( \sqrt{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right);B\left( \sqrt{2};-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\] hoặc \[A\left( \sqrt{2};-\frac{\sqrt{2}}{2} \right);B\left( \sqrt{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\].

Nhận xét: Việc đánh giá maxS khá thuận lợi vì hoành độ của A và B dương. Trong những trường hợp khác ta có thể đưa về khảo sát hàm số. Ta minh họa điều này bằng một bài toán tương tự sau

Câu 4: Cho elip \[(E):\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{y}^{2}}}{1}=1\] và điểm C(2;0). Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E) sao cho tam giác CAB cân tại C và có diện tích lớn nhất.

Giải

Gọi \[A(x;y)\Rightarrow B(x;-y)\]. Tính được \[{{S}_{ABC}}=\left| (2-x)y \right|\]

Ta có \[S_{ABC}^{2}={{(2-x)}^{2}}{{y}^{2}}={{(2-x)}^{2}}.\frac{4-{{x}^{2}}}{4}\]. Sau đó xét hàm số

Khảo sát hàm f(x) suy ra f(x) đạt max tại x=1. Từ đó suy ra tọa độ các điểm cần tìm A,B.

Trong hai thí dụ 3 và 4 ta đều sử dụng tính chất đối xứng của elip, cụ thể là gọi \[A(x;y)\]thì ta suy ra \[B(x;-y)\].

Tuy nhiên nếu không sử dụng được tính chất này nữa thì vấn đề sẽ khó khăn hơn rất nhiều. Ta tiếp tục xét bài toán sau.

Câu 5: Cho elip \[(E):\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{y}^{2}}}{1}=1\]. Tìm tọa độ hai điểm A,B trên (E) sao cho tam giác OAB vuông tại O và có diện tích nhỏ nhất.

Giải

Ta hoàn toàn không thể xử lí bài toán như trong thí dụ 3 và 4. Tuy nhiên dấu hiệu tam giác OAB vuông tại O gợi ta nhớ đến một kết quả cơ bản trong elip:

Nếu A và B là hai điểm di động trên elip \[(E):\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\] sao cho \[OA\bot OB\] thì \[\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}\] không đổi (Kết quả này xin dành cho bạn đọc).

Áp dụng kết quả này ta được: \[\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}\ge \frac{2}{OA.OB}=\frac{1}{{{S}_{OAB}}}\Rightarrow {{S}_{OAB}}\ge \frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\].

Nhận xét: Cũng từ kết quả \[\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}\] không đổi ta suy ra đường thẳng AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Thật vậy, kẻ \[OH\bot AB\] thì \[\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}\Rightarrow OH=\frac{ab}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\], tức là AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính \[R=\frac{ab}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\]. Bài toán 7.b trong đề thi ĐH khối B năm 2012 cũng dựa trên tư tưởng này.

Dạng 3: Tương giao giữa đường thẳng và elip

Câu 6: Cho elip \[(E):\frac{{{x}^{2}}}{100}+\frac{{{y}^{2}}}{36}=1\] và điểm \[M(3;2)\]. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho \[MA=MB\].

Giải

Nếu elip (E) được thay bởi một đường tròn (C) thì đây là bài toán dễ. Tuy nhiên với elip thì phức tạp hơn hẳn. Ta có thể giải như sau:

Gọi \[A(x;y)\in (E)\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}}{100}+\frac{{{y}^{2}}}{36}=1\] (1). Do M là trung điểm của AB nên \[B(6-x;4-y)\].

Vì \[B\in (E)\Rightarrow \frac{{{(6-x)}^{2}}}{100}+\frac{{{(4-y)}^{2}}}{36}=1\] (2). Từ (1) và (2) ta được \[27x+50y-131=0\] (*).

Do tọa độ A,B đều thỏa mãn (*) nên phương trình (*) chính là PT đường thẳng d cần tìm.

Nhận xét: Bằng cách này ta có thể giải được bài toán tổng quát khi thay giả thiết \[MA=MB\] bằng giả thiết M chia đoạn AB theo tỉ số k nào đó.

Câu 7: Cho elip $(E):\frac{{{x}^{2}}}{8}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1$ và đường thẳng $d:x-\sqrt{2}y+2=0$. Chứng minh rằng d cắt (E) tại hai điểm phân biệt B và C. Tìm điểm A thuộc (E) sao cho tam giác ABC cân tại A.

Giải

Tọa độ B, C là nghiệm của hệ:

Gọi $I({{x}_{I}};{{y}_{I}})$ là trung điểm BC, ta có ngay ${{y}_{I}}=\frac{1}{2}\left( {{y}_{A}}+{{y}_{B}} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (định lý Viét).

Từ đó tìm ra ${{x}_{I}}=-1$. Vậy $I\left( 1;\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$.

Khi đã có I ta sẽ viết được phương trình trung trực của đoạn BC, từ đó tìm ra tọa độ điểm A cần tìm.

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Khoảng cách từ điểm M(-1;1) đến đường thẳng 3x-4y-3=0 bằng bao nhiêu?

A.\[\frac{2}{5}\] B. 2 C. \[\frac{4}{5}\] D. \[\frac{4}{25}\]

Câu 2: Hypebol \[\frac{{{x}^{2}}}{16}-\frac{{{y}^{2}}}{9}=1\] có hai tiêu điểm là :

F₁(- 2 ; 0) ; F₂(2 ; 0)
F₁(- 3 ; 0) ; F₂(3 ; 0)
F₁(- 4 ; 0) ; F₂(4 ; 0)
F₁(- 5 ; 0) ; F₂(5 ; 0)

Câu 3 :Viết phương trình Parabol (P) có tiêu điểm F(3 ; 0) và đỉnh là gốc tọa độ O

y²= -2x
y² = 6x
y² = 12x
\[y={{x}^{2}}+\frac{1}{2}\]

Câu 4 :Xác định tiêu điểm của Parabol có phương trình y² = 6x

(0 ; -3)
(0 ; 3)
\[\left( \frac{3}{2};0 \right)\]
\[\left( -\frac{3}{2};0 \right)\]

Câu 5: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn:

A. x² + 2y² - 4x - 8y + 1 = 0 B.4x² + y² - 10x - 6y -2 = 0

C. x² + y² - 2x - 8y + 20 = 0 D.x² + y² - 4x +6y - 12 = 0

Câu 6 : Cho elíp có phương trình 16x² + 25y² = 100 . Tính tổng khoảng cách từ điểm thuộc elíp có hoành độ x = 2 đến hai tiêu điểm .

5
\[2\sqrt{2}\]
\[4\sqrt{3}\]
\[\sqrt{3}\]

Câu 7 : Đường thẳng qua M(1 ; 1) và cắt elíp (E) : 4x² + 9y² = 36 tại hai điểm M₁ , M₂ sao cho MM₁ = MM₂ có phương trình là

2x + 4y – 5 = 0
16x – 15y + 100 = 0
4x + 9y – 13 = 0
x + y + 5 = 0

Câu 8 : Cho điểm A(3 ; 0) , gọi M là một điểm tuỳ ý trên (P) : y² = x . Tìm giá trị nhỏ nhất của AM .

4
\[\frac{5}{2}\]
\[\frac{9}{2}\]
\[\frac{\sqrt{11}}{2}\]

Câu 9 : Cho M là một điểm thuộc (P) : y² = 64x , N là một điểm thuộc đường thẳng (d) : 4x + 3y +46 = 0 .Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng MN .

2
4
\[\frac{5}{2}\]
\[\frac{3}{2}\]

Câu 10 : Giả sử đường tròn ( O ) tiếp xúc với đường thẳng D . Quỹ tích tâm các đường tròn thay đổi nhưng tiếp xúc với ( O ) và (d ) tại hai điểm phân biệt là :