Xác suất - Tổ hợp

Cho tập hợp A có n phần tử \[\left( n>4 \right)\] . Biết rằng số tập con của A có 8 phần tử nhiều gấp \[26\] lần số tập con của A có 4 phần tử. Hãy tìm \[k\in \left\{ 1,2,3,...,\text{ }n \right\}\] sao cho số tập con gồm k phần tử của A là nhiều nhất.

Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển \[{{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{n}}\]. Biết có đẳng thức là: $C_{n}^{2}C_{n}^{\text{n-}2}+2C_{n}^{2}C_{n}^{3}+C_{n}^{3}C_{n}^{n-3}=100$.

Một khối lập phương có độ dài cạnh là 2cm được chia thành 8 khối lập phương cạnh 1cm. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các đỉnh của khối lập phương cạnh 1cm.

Cho đa thức \[p\left( x \right)={{\left( 1+x \right)}^{8}}+{{\left( 1+x \right)}^{9}}+{{\left( 1+x \right)}^{10}}+{{\left( 1+x \right)}^{11}}{{\left( 1+x \right)}^{12}}.\] Khai triển và rút gọn ta được đa thức: \[P\left( x \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{a}_{12}}{{x}^{12}}\]. Tìm hệ số \[{{a}_{8}}\]

Lập số có 9 chữ số, mỗi chữ số thuộc thuộc tập hợp 1,2,3,4 trong đó chữ số 4 có mặt 4 lần, chữ số 3 có mặt 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. Số các số lập được là:

Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{31}}$ trong khai triên của biêu thức ${{\left( x+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{40}}$.

Cho tập hợp $X = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}.$ Số các tập con của tập X có chứa chữ số 0 là

Số cách chia 10 phần quà cho 3 bạn sao cho ai cũng có ít nhất 2 phần quà là

Tổng tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn $\frac{1}{C_{n}^{1}}-\frac{1}{C_{n+1}^{2}}=\frac{7}{6C_{n+4}^{1}}$là:

Tính tổng $P={{(\mathop{c}_{n}^{0})}^{2}}+\,\,\,{{(\mathop{c}_{n}^{1})}^{2}}+...+\,\,{{(\mathop{c}_{n}^{n})}^{2}}$ theo n.

Cho các số tự nhiên m n, thỏa mãn đồng thời các điều kiện $C_{m}^{2}=153$ và $C_{m}^{n}=C_{m}^{n+2}.$ Khi đó $m+n$ bằng:

Cho đa giác đều 100 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Xác suất để 3 đỉnh đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác tù là:

Tính tổng $S=C_{2018}^{1009}+C_{2018}^{1010}+C_{2018}^{1011}+...+C_{2018}^{2018}$ (trong tổng đó, các số hạng có dạng \[C_{2018}^{k}\] với k nguyên dương nhận giá trị liên tục từ 1009 đến 2018 ).

Trong trò chơi “Chiếc nón kì diệu” chiếc kim của bánh xe có thể dừng lại ở một trong \[7\] vị trí với khả năng như nhau. Tính xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe đó lần lượt dừng lại ở ba vị trí khác nhau.

Giả sử có khai triển${{\left( 1-2x \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{a}_{n}}{{x}^{n}}.$ Tìm ${{a}_{5}}$  biết ${{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}=71.$

Từ tập \[A=\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right\}\] có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số

$\overline{abcd}$ sao cho $a\le b\le c\le d$

Đội dự tuyển học sinh giỏi Toán của tỉnh A có n học sinh \[n=9\] trong đó có 2 học sinh nữ, tham gia kì thi để chọn đội tuyển chính thức gồm 4 người. Biết xác suất trong đội tuyển chính thức cả 2 học sinh nữ gấp 2 lần xác suất trong đội tuyển chính thức không có học sinh nữ nào. Tìm n ?

Trước kỳ thi học kỳ 2 của lớp 11 tại trường FIVE, giáo viên Toán lớp FIVA giao cho học sinh để cương ôn tập gồm 2n bài toán, n là số nguyên dương lớn hơn 1. Đề thi học kỳ của lớp FIVA sẽ gồm 3 bài toán được chọn ngẫu nhiên trong số 2n bài toán đó. Một học sinh muốn không phải thi lại, sẽ phải làm được ít nhất 2 trong số 3 bài toán đó. Học sinh TWO chỉ giải chính xác được đúng 1 nửa số bài trong đề cương trước khi đi thi, nửa còn lại học sinh đó không thể giải được. Tính xác suất để TWO không phải thi lại ?

Cho biểu thức $P={{\left( \frac{x+1}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{x+1}}-\frac{x-1}{x-\sqrt{x}} \right)}^{10}}$ với $x>0,x\ne 1.$ Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của P .

Đề thi trắc nghiệm môn toán gồm 50 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án trả lời đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Một học sinh không học bài lên mỗi câu trả lời đều chọn ngẫu nhiên một phương án. Xác suất để học sinh đó được đúng 6 điểm là:

Trong khai triển \[{{\left( 3{{x}^{2}}+\frac{1}{x} \right)}^{n}},\] biết hệ số của \[{{x}^{3}}\]là \[{{3}^{4}}C_{n}^{5}.\] Giá trị của n có thể nhận là: 

 Có 7 tấm bia ghi 7 chữ “HIỀN”, “TÀI”, “LÀ”, “NGUYÊN”, “KHÍ”, “QUỐC”, “GIA”. Một người xếp ngẫu nhiên 7 tấm bia cạnh nhau. Tính xác suất để khi xếp các tấm bia được dòng chữ “HIỀN TÀI LÀ NGUYÊN KHÍ QUỐC GIA”.

 Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh được đánh số từ 1 đến 5; có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 3. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Tính xác suất để 2 viên bi được lấy vừa khác màu, vừa khác số.

 Ba cầu thủ sút phạt đền 11m, mỗi người sút một lần với xác suất ghi bàn tương ứng là $x,\text{ }y$ và $0,6$ (với $x>y)$. Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là $0,976$ và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi bàn là $0,336$. Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn.

Có 15 học sinh giỏi gồm 6 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh.

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số  thỏa mãn số đó có 3 số chữ chẵn và số đứng sau lớn hơn số đứng trước.

Đội học sinh giỏi trường THPT Lý Thái Tổ gồm có 8 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh. Xác suất để trong 8 học sinh được chọn có đủ 3 khối là

Có 60 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 60. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên 3 thẻ chia hết cho 3

Tìm số hạng không chứa $x$  trong khai triển của ${{\left( x\sqrt{x}+\frac{1}{{{x}^{4}}} \right)}^{n}}$ với $x>0$, nếu biết rằng $C_{n}^{2}-C_{n}^{1}=44$.

 Một mạch điện gồm 4 linh kiện  như hình vẽ, trong đó xác suất hỏng của từng linh kiện trong một khoảng thời gian t nào đó tương ứng là 0,2; 0,1; 0,05 và 0,02. Biết rằng các linh kiện làm việc độc lập với nhau và các dây luôn tốt. Tính xác suất để mạng điện hoạt động tốt trong một khoảng thời gian t.

Một hộp đựng 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 quả cầu. Tính xác suất để trong 4 quả cầu được lấy có đúng 2 quả cầu đỏ.

Lớp 11B có 20 học sinh gồm 12 nữ và 8 nam. Cần chọn ra 2 học sinh của lớp đi lao động. Tính xác suất để chọn được 2 học sinh trong đó có cả nam và nữ.

Gọi E là tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Chọn ngẫu nhiên 2 số khác nhau từ tập hợp E. Tính xác suất để 2 số được chọn có đúng 1 số có chữ số 5.

Trong một đợt kiểm tra vệ sinh an toàn thực phẩm của ngành y tế tại chợ X, ban quản lý chợ lấy ra $15$ mẫu thịt lợn trong đó có 4 mẫu ở quầy A, 5 mẫu ở quầy B, 6 mẫu ở quầy C. Đoàn kiểm tra lấy ngẫu nhiên 4 mẫu để phân tích xem trong thịt lợn có chứa hóa chất tạo nạc hay không. Xác suất để mẫu thịt của cả 3 quầy A, B, C đều được chọn bằng:

Một người làm vườn có 12 cây giống gồm 6 cây xoài, 4 cây mít và 2 cây ổi. Người đó muốn chọn ra 6 cây giống để trồng. Tính xác suất để 6 cây được chọn, mỗi loại có đúng 2 cây.

Biết rằng hệ số của ${{x}^{n-2}}$ trong khai triển $\left( x-{{\frac{1}{4}}^{n}} \right)$ bằng $31$. Tìm n .

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của \[{{\left( x\sqrt{x}+\frac{1}{{{x}^{4}}} \right)}^{n}}\], với \[x>0\] nếu biết rằng \[C_{n}^{2}-C_{n}^{1}=44\].

Trong khai triển ${{\left( x+\frac{2}{\sqrt{x}} \right)}^{6}}$, hệ số của ${{x}^{3}}\,\,\left( x > 0 \right)$ là:

Có bao nhiêu cách chia 8 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho có một người được 2 đồ vật và hai người còn lại mỗi người được 3 đồ vật ?

Các thành phố $A,B,C$ được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố $A$ đến thành phố $C$ mà qua thành phố $B$ chỉ một lần ?

Biết $n\in {{\mathbb{Z}}^{+}},n>4$ và thỏa mãn $\frac{A_{n}^{0}}{0!}+\frac{A_{n}^{1}}{1!}+\frac{A_{n}^{2}}{2!}+\frac{A_{n}^{3}}{3!}+...+\frac{A_{n}^{n}}{n!}=\frac{32}{n-4}.$ Tính $P=\frac{1}{n\left( n+1 \right)}.$

Cho khai triển ${{\left( 1+x+{{x}^{2}} \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{a}_{2n}}{{x}^{2n}}$ , với $n\ge 2$ và ${{a}_{0}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{2n}}$ là các hệ số. Biết rằng $\frac{{{a}_{3}}}{14}=\frac{{{a}_{4}}}{41}$ khi đó tổng $S={{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{2n}}$ bằng:

Từ các chữ số $\left\{ 0;1;2;3;4;5;6 \right\}$ viết ngẫu nhiên một số  tự  nhiên gồm 6 chữ  số  khác nhau có dạng $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}}.$ Tính xác suất để viết được các số thỏa mãn điều kiện ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}={{a}_{3}}+{{a}_{4}}={{a}_{5}}+{{a}_{6}}$.

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng \[\overline{abcd}\] , trong đó $1\le a\le b\le c\le d\le 9.$ 

Rút gọn tổng sau $S=C_{2018}^{2}+C_{2018}^{5}+C_{2018}^{8}+...+C_{2018}^{2018}$ 

Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 lập số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Tính xác suất để số được lập chia hết cho 1111.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ\[Oxy\], chọn ngẫu nhiên một điểm mà tọa độ là các số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hay bằng 4. Nếu các điểm có cùng xác suất được chọn như nhau, vậy thì xác suất để chọn được một điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2 là:

Tính tổng \[S=C_{2000}^{0}+2C_{2000}^{1}+...+2001C_{2000}^{2000}\]

Cho một đa giác đều 2n đỉnh $\left( n\ge 2,n\in \mathbb{N} \right).$ Tìm n biết số hình chữ nhật được tạo ra từ  bốn đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác đó là 45.

Trên mặt phẳng \[Oxy\] ta xét một hình chữ nhật \[ABCD\] với các điểm $A\left( -2;0 \right),B\left( -2;2 \right),C\left( 4;2 \right),D\left( 4;0 \right).$ Một con châu chấu nhảy trong hình chữ nhật đó tính cả trên cạnh hình chữ nhật sao cho chân nó luôn đáp xuống mặt phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên( tức là điểm có cả hoành độ và tung độ đều nguyên). Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm \[M\left( x;\text{ }y \right)\] mà \[x+y