Bài tập nguyên hàm

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\left( 5x+1 \right){{e}^{x}}$ và $F\left( 0 \right)=3.$ Tính F(1).

Biết    với a, b là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Cho \[{{\log }_{2}}m=a\] và \[A={{\log }_{m}}\left( 8m \right)\] với \[m > 0 ,m\ne 1.\] Tìm mối liên hệ giữa A và a.

Cho tích phân $\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin x}{\cos \text{x}+2}}d\text{x}=a\ln 5+b\ln 2$ với $a,b\in \mathbb{Z}.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Tính $I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{3x}}.dx.}$

Tìm hàm số F(x) biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{x}$ và $F\left( 1 \right)=11.$ 

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)=x\sin x\] là:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$ và các trục tọa độ là:

Biết $\int\limits_{1}^{e}{\frac{\left( x+1 \right)\ln x+2}{1+x\ln x}dx}=a.e+b.\ln \left( \frac{e+1}{e} \right)$ trong đó a, b là các số nguyên. Khi đó, tỷ số $\frac{a}{b}$ là:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{2}{{{x}^{2}}-1}$ 

 Cho hai hàm số \[F(x)=({{x}^{2}}+ax+b){{e}^{-x}}\] và \[f(x)=(-{{x}^{2}}+3x+6){{e}^{-x}}\]. Tìm a và b để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).

Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{xdx}$ ta được kết quả là?

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$. Diện tích S  của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right),$ trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b\left( a

Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}$ là:

Cho hai hàm số $f\left( x \right),\,g\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}.$ Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

Tìm $\int{x\cos 2xdx.}$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{3}^{x}}.$

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị $y={{x}^{2}}-2x$ và $y=-{{x}^{2}}+x$.

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)=cos3x\] là:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên ℝ và có $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=2}$; $\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx=6}$. Tính $I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx}$. 

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ a;b \right]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,\,\,x=b\,\left( a

Giả sử $\int\limits_{1}^{2}{\frac{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}{{{x}^{4}}}dx}=\frac{1}{c}\left( a\sqrt{a}-\frac{b}{b+c}\sqrt{b} \right)\,\,\,\,\left( a;b;c\in \mathbb{N}1\le a,b,c\le 9 \right).$ Tính giá trị biểu thức $S=C_{2a+c}^{b-a}.$

Kết quả của $\int\limits_{0}^{4}{\frac{1}{\sqrt{2x+1}}}\,\,dx$ bằng:

Cho hàm số $f\left( x \right)=4{{x}^{3}}+2x+1$. Tìm $\int{f\left( x \right)dx}$.  

Một chuyển động được xác định bởi phương trình $S\left( t \right)={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-9t+2,$ trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Khẳng định nào sau đây đúng ?

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $\int\limits_{-5}^{1}{f\left( x \right)dx=9.}$ Tính $\int\limits_{0}^{2}{\left[ f\left( 1-3x \right)+9 \right]dx}$.

Nếu $\int{f\left( x \right)dx}=\frac{1}{x}+\ln \left| 5x \right|+C$ với  thì hàm số $f\left( x \right)$ là      

Hàm số $F\left( x \right)=x+\cos \left( 2x-3 \right)+10$ là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số được cho ở các phương án sau ?

Một ô tô đang chạy với tốc độ 10(m/s) thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với \[v\left( t \right)=-5t+10\left( m/s \right),\] trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ?

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi Parabol $y=\frac{{{x}^{2}}}{12}$ và đường cong có phương trình $y=\sqrt{4-\frac{{{x}^{2}}}{4}}$(hình vẽ). Diện tích của hình phẳng (H) bằng:

Cho $\int\limits_{0}^{3}{{{e}^{\sqrt{x+1}}}.\frac{dx}{\sqrt{x+1}}}=a.{{e}^{2}}+b.e+c,$ với a, b, c là các số nguyên. Tính $S=a+b+c$

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=2c\text{os}2x$ là

Tìm $a+b$ biết \[\int{\frac{7x+11}{(x+1)(x+2)}}dx=a\ln \left| x+2 \right|+b\ln \left| x+1 \right|+C\]?

Biết $\int\limits_{1}^{3}{\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}}=a+\ln \frac{b}{2},$ với a, b là các số nguyên. Tính $S=a-2b.$ 

Một chất điểm chuyển động theo quy luật $s=12{{t}^{2}}-2{{t}^{3}}+3$ trong đó t là khoảng  thời gian (tính bằng giây) mà chất điểm bắt đầu chuyển động. Tính thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.

Nếu $\int{f\left( x \right)dx}=\frac{{{x}^{3}}}{3}+{{e}^{x}}+C$ thì $f\left( x \right)$ bằng:

\[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+\frac{1}{2x+1}\]. Biết \[F\left( 0 \right)=0\], \[F\left( 1 \right)=a+\frac{b}{c}\ln 3\], trong đó \[a,b,c\] là các số nguyên dương và \[\frac{b}{c}\] là phân số tối giản. Khi đó giá trị biểu thức \[a+b+c\] bằng:

Biết \[\int\limits_{e}^{{{e}^{4}}}{f\left( \ln x \right)\frac{1}{x}dx}=4\]. Tính tích phân \[I=\int\limits_{1}^{4}{f\left( x \right)dx}\]

Tích phân \[\int\limits_{0}^{2}{\frac{x\text{d}x}{{{x}^{2}}+3}}\] bằng

Tính tích phân $I=\int\limits_{1}^{e}{\frac{\sqrt{1+3\ln x}}{x}dx}$ bằng cách đặt $t=\sqrt{1+3\ln x,}$ mệnh đề nào dưới đây sai ?