tích phân và ứng dụng

Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)=\sin 2x$, biết $F\left( \frac{\pi }{6} \right)=0$.  

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ 1;3 \right]\], trục Ox và hai đường thẳng \[x=1;x=3\] có diện tích là:

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ a;b \right]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,\,\,x=b\,\left( a

Nguyên hàm của hàm số $y={{e}^{-3x+1}}$ là:

Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|}dx.$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \[y=\sin x,\text{ }y=cos\text{ }x\] và các đường thẳng \[x=0,\text{ }x=\pi \] bằng:

Cho hình $\left( H \right)$ giới hạn bở đồ thị $\left( C \right):y=x\ln x$, trục hoành và các đường thẳng $x=1,x=e.$ Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay $\left( H \right)$ quanh trục hoành.

Tính tích phân \[I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{x-1}{x}\text{d}x}\].

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right],$ trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b\left( a\le b \right)$ có diện tích S là:

Gọi $\left( D \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\frac{x}{4}$, $y=0$, $x=1$, $x=4$. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình $\left( D \right)$ quanh trục \[Ox\].

Xét hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ và thỏa mãn $2f\left( x \right)+3f\left( 1-x \right)=\sqrt{1-x}.$ Tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$ bằng:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên

và $\int\limits_{0}^{3}{f\left( \sqrt{x+1} \right)dx=8.}$ Tích phân $I=\int\limits_{1}^{2}{xf\left( x \right)dx}$ bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-1;2;1), B(-4;2;-2), C(-1;-1;-2). Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC)

Cho hàm số $f\left( x \right)$ luôn dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;4]. Biết rằng ${f}'\left( x \right)={{e}^{\sqrt{x}}}f\left( x \right),\forall x\in \left[ 1;4 \right]$ và $f\left( 1 \right)=1.$ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)=1,$ trục hoành và hai đường thẳng $x=1,x=4.$

Cho I=$\int\limits_{1}^{e}{x\ln x}dx=a{{e}^{2}}+b$ . Tính giá trị biểu thức A=a-b

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$liên tục trên $\mathbb{R}$ và là hàm số chẵn, biết $\int\limits_{-1}^{1}{\frac{f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}}d\text{x}=1.$ Tính$\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}d\text{x}$ 

Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\operatorname{s}\text{inx},y=\cos x,x=0,x=a\,$ (với $a\in \left[ \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2} \right]$ là $\frac{1}{2}\left( -3+4\sqrt{2}-\sqrt{3} \right).$ Hỏi số a thuộc khoảng nào sau đây ?

Một ôtô đang chạy với vận tốc 20m/s thì người lái xe đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v\left( t \right)=-4t+20$ (m/s), trong đó t  là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển được bao nhiêu mét ?

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục \[Ox\] hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y={{x}^{2}}-4x+6$và $y=-{{x}^{2}}-2x+6$.

Biết \[\int{x\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx=\text{ }\frac{a}{b}({{x}^{2}}+1)\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C\] (với a, b là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản), khi đó giá trị của $b-a$  là:

Cho $\left( H \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol $y=\frac{{{x}^{2}}}{3}$; $y=\sqrt{3}{{x}^{2}}$, cung tròn có phương trình $y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}$ (với $0\le x\le 2$) (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của $\left( H \right)$ bằng

Biết I=$\int_{1}^{3}\frac{x+2}{x}dx=a+b lnc$, với a,b,c$\in \mathbb{Z}$,c<9. Tính tổng S=a+b+c.

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)d\text{x}}=2;\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)d\text{x}}=6$.Tính$I=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( \left| 2\text{x}-1 \right| \right)d\text{x}}$

Cho hàm số\[y=f(x)\]  liên tục trên đoạn \[\left[ 0;1 \right]\]và \[y={f}'(x)\] liên tục trên đoạn \[\left[ 0;1 \right]\], \[f(1)=4\]

Tính \[\int_{0}^{1}{\left[ {{x}^{2}}f(x)+\frac{{{x}^{3}}}{3}{f}'(x) \right]dx}\].

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}.$ Biết rằng $\int_{1}^{{{e}^{3}}}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}}dx=7,\,\,\,\,\int_{0}^{\pi /2}{f\left( \cos x \right)\sin xdx}=3.$ Tính tích phân $I=\int_{1}^{3}{\left( f\left( x \right)+2x \right)}dx.$

. Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $R\backslash \left\{ \frac{1}{2} \right\}$ thỏa mãn $f'\left( x \right)=\frac{2}{2x-1}$; $f\left( 0 \right)=1$ và $f\left( 1 \right)=2$. Giá trị của biểu thức $T=f\left( -1 \right)+f\left( 3 \right)$ là

Cho số dương a và hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( x \right)+f\left( -x \right)=a\,\,\forall x\in \mathbb{R}$. Giá trị của biểu thức $\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}$ bằng:

Tìm $a+b+c$ biết \[\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{dx}{x\ln x\ln ex}}=a\ln 2+b\ln 3+c\].

Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f\left( x \right)+f'\left( x \right)={{e}^{-x}},\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=2$. Tất cả các nguyên hàm của $f\left( x \right){{e}^{2x}}$ là

Biết tích phân \[\int\limits_{0}^{\ln 6}{\frac{{{e}^{x}}}{1+\sqrt{{{e}^{x}}+3}}dx}=a+b\ln 2+c\ln 3\] với \[a,b,c\] là các số nguyên . Tính \[T=a+b+c\].

Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{a}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}+bx{{e}^{x}}$. Tìm a và b biết rằng $f'\left( 0 \right)=-22$ và $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=5}$ 

Biết $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{x+x\cos x-{{\sin }^{3}}x}{1+\cos x}dx=\frac{{{\pi }^{2}}}{a}-\frac{b}{c}}$. Trong đó $a,\,b,\,c$ là các số nguyên dương, phân số $\frac{b}{c}$ tối giản. Tính  $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ 

Biết $\int\limits_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{x\cos x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}+x}\text{d}x}=a+\frac{{{\pi }^{2}}}{b}+\frac{\sqrt{3}\pi }{c}$với $a,\ b,\ c$ là các số nguyên. Tính $M=a-b+c$.

Giá trị của tích phân \[\int_{0}^{100}{x\left( x-1 \right)...\left( x-100 \right)dx}\] bằng

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ -2;1 \right\}$ thỏa mãn $f'\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}+x-2},f\left( -3 \right)-f\left( 3 \right)=0$ và $f\left( 0 \right)=\frac{1}{3}.$ Giá trị biểu thức $f\left( -4 \right)+f\left( -1 \right)-f\left( 4 \right)$ bằng: