Tổ hợp is fucking hard

Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 gam hương liêu, 9 lít nước và 210 gam đường để pha chế nước ngọt loại I và nước ngọt loại II. Để pha chế 1 lít nước ngọt loại I cần 10 gam đường, 1 lít nước và 4 gam hương liệu. Để pha chế 1 lít nước ngọt loại II cần 30 gam đường, 1 lít nước và 1 gam hương liệu. Mỗi lít nước ngọt loại I được 80 điểm thưởng, mỗi lít nước ngọt loại II được 60 điểm thưởng. Hỏi số điểm thưởng cao nhất có thể của mỗi đội trong cuộc thi là bao nhiêu?

Cho đa thức \[p\left( x \right)={{\left( 1+x \right)}^{8}}+{{\left( 1+x \right)}^{9}}+{{\left( 1+x \right)}^{10}}+{{\left( 1+x \right)}^{11}}{{\left( 1+x \right)}^{12}}.\] Khai triển và rút gọn ta được đa thức: \[P\left( x \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{a}_{12}}{{x}^{12}}\]. Tính tổng các hệ số \[{{a}_{i}},i=0,1,2,...,12\]

Rút gọn tổng sau $S=C_{2018}^{2}+C_{2018}^{5}+C_{2018}^{8}+...+C_{2018}^{2018}$ 

Cho khai triển ${{(1+2x)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{a}_{n}}{{x}^{n}}(n\in \mathbb{N}*)$ và các hệ số thỏa mãn ${{a}_{0}}+\frac{{{a}_{1}}}{2}+...+\frac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n}}}=4096.$ Hệ số lớn nhất là:

Tìm hệ số \[h\] của số hạng chứa \[{{x}^{5}}\] trong khai triển \[{{\left( {{x}^{2}}+\frac{2}{x} \right)}^{7}}\].

Tính tổng \[S=C_{2000}^{0}+2C_{2000}^{1}+...+2001C_{2000}^{2000}\]

Từ các chữ số $\left\{ 0;1;2;3;4;5;6 \right\}$ viết ngẫu nhiên một số  tự  nhiên gồm 6 chữ  số  khác nhau có dạng $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}}.$ Tính xác suất để viết được các số thỏa mãn điều kiện ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}={{a}_{3}}+{{a}_{4}}={{a}_{5}}+{{a}_{6}}$.

Tìm các giá trị của x trong khai triển ${{\left( \sqrt{{{2}^{\lg \left( 10-{{3}^{x}} \right)}}}+\sqrt[5]{{{2}^{\left( x-2 \right)\lg 3}}} \right)}^{n}},$ biết rằng số hạng thứ 6 trong khai triển trên bằng 21 và $C_{n}^{1},C_{n}^{2},C_{n}^{3}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Trong trò chơi gieo ngẫu nhiên đồng xu nhiều lần liên tiếp, hỏi phải gieo ít nhất bao nhiêu lần để xác suất được mặt ngửa nhỏ hơn $\frac{1}{100}.$ 

Cho khai triển \[{{\left( 1-3x+2{{x}^{2}} \right)}^{2017}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...{{a}_{4034}}{{x}^{4034}}\]. Tìm\[{{a}_{2}}\]. 

Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 lập số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Tính xác suất để số được lập chia hết cho 1111.

Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho $S=2+\left( C_{1}^{0}+C_{2}^{0}+...+C_{n}^{0} \right)+\left( C_{_{1}}^{1}+C_{2}^{1}+...+C_{n}^{1} \right)+...+\left( C_{n-1}^{n-1}+C_{n}^{n-1} \right)+C_{n}^{n}$ là một số có 1000 chữ số.

Cho một đa giác đều 2n đỉnh $\left( n\ge 2,n\in \mathbb{N} \right).$ Tìm n biết số hình chữ nhật được tạo ra từ  bốn đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác đó là 45.

Cho khai triển \[{{\left( 1-3x+2{{x}^{2}} \right)}^{2017}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{a}_{4034}}{{x}^{4034}}\]. Tìm \[{{a}_{2}}\].

Cho đa giác đều n đỉnh, \[n\text{ }\in N\text{ }v\grave{a}\text{ }n\ge 3\] . Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo.

Tại một buổi lễ có 13 cặp vợ chồng tham dự, mỗi ông bắt tay với mọi người trừ vợ mình. Các bà không ai bắt tay với nhau. Hỏi có bao nhiêu các bắt tay ?

Trong 100 vé số có 5 vé trúng. Một người mua 15 vé. Xác suất để người đó trúng 2 vé là bao nhiêu?

Một con súc sắc không cân đối, có đặc điểm mặt sáu chấm xuất hiện nhiều gấp hai lần các mặt còn lại. Gieo con súc sắc đó hai lần. Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện trong hai lần gieo lớn hơn hoặc bằng 11 bằng:

Cho số nguyên dương n, tính tổng $S=\frac{-C_{n}^{1}}{2.3}+\frac{2C_{n}^{2}}{3.4}-\frac{3C_{n}^{3}}{4.5}+...+\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}nC_{n}^{n}}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}$ 

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật OMNP với $M\left( 0;10 \right),N\left( 100;10 \right)$ và $P\left( 100;0 \right)$. Gọi S là tập hợp tất cả các điểm \[A\left( x;\text{ }y \right),\left( x,\text{ }y\in \mathbb{Z} \right)\] nằm bên trong (kể cả trên cạnh) của OMNP. Lấy ngẫu nhiên một điểm $A\left( x;y \right)\in S.$ Xác suất để $x+y\le 90$ bằng:

Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 6. Lập các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau từ 5 chữ số đã cho. Tính tổng của các số lập được.  

Có bao nhiêu số tự nhiên có 2018 chữ số sao cho trong mỗi số tổng các chữ số bằng 5?

Cho đa giác đều có 15 đỉnh. Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M, tính xác suất để tam giác được chọn là một tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều.

Một người bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư vào 4 bì thư đã được ghi sẵn địa chỉ cần gửi. Tính xác suất để có ít nhất 1 lá thư bỏ đúng phong bì của nó.

Cho đa giác đều có 14 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong số 14 đỉnh của đa giác. Tìm xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông.

Giá trị của \[A=\frac{1}{1!.2018!}+\frac{1}{2!.2017!}+\frac{1}{3!.2016!}+...+\frac{1}{1008!.1011!}+\frac{1}{1009!.1010!}\] bằng:

Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ. Xác suất để hai thẻ rút được có tích 2 số ghi trên 2 thẻ là số lẻ là

Một hộp đựng 15 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 15. Rút ngẫu nhiên ba thẻ, xác suất để tổng ba số ghi trên ba thẻ được rút chia hết cho 3 bằng:

Cho khai triển ${{\left( 1+x+{{x}^{2}} \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{a}_{2n}}{{x}^{2n}}$ , với $n\ge 2$ và ${{a}_{0}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{2n}}$ là các hệ số. Biết rằng $\frac{{{a}_{3}}}{14}=\frac{{{a}_{4}}}{41}$ khi đó tổng $S={{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{2n}}$ bằng:

Tính tổng\[S=\frac{1}{2018}{{\left( C_{2018}^{1} \right)}^{2}}+\frac{2}{2017}{{\left( C_{2018}^{2} \right)}^{2}}+...+\frac{2017}{2}{{\left( C_{2018}^{2017} \right)}^{2}}+\frac{2018}{1}{{\left( C_{2018}^{2018} \right)}^{2}}\]