a) Ta có: \(S_{ABCD}=2S_{ABD}\)
\(S_{ABCD}=\frac{1}{2}AB.AD.\sin \widehat{BAD}=\frac{a^{2}}{2\sqrt{2}}\)
Do ABCD.A'B'C'D' là hình lăng trụ đứng nên \(V_{ABCD.A'B'C'D'}=AA'.S_{ABCD}=\frac{a\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.\frac{a^{2}}{\sqrt{2}}=\frac{a^{3}\sqrt{\sqrt{2}-1}}{2}\)
b) Ta có \(O\in(A'BD)\) và \(OA=OC\) nên \(d(C;(A'BD))=d(A;(A'BD))\)
ABCD là hình thoi => \(BD\perp OA,AA'\perp (ABCD)\)
\(\Rightarrow BD\perp AA'\Rightarrow BD\perp (A'OA).\) Gọi H là hình chiếu của A lên A'O
\(\Rightarrow AH\perp A'O, BD\perp AH\Rightarrow AH\perp (A'BD)\Rightarrow d(A;(A'BD))=AH.\)
\(\widehat{BAD}=45^{\circ}\Rightarrow \widehat{ABC}=135^{\circ}\Rightarrow AC^{2}=BA^{2}+BC^{2}-2BA.BC.\cos \widehat{ABC}=a^{2}(2+\sqrt{2})\Rightarrow AO=\frac{a\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\)
Trong \(\triangle AA'O\) có: \(\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AO^{2}}+\frac{1}{AA'^{2}}-\frac{8}{a^{2}}\Rightarrow AH=\frac{a}{2\sqrt{2}}\Rightarrow d(C;(A'BD))=\frac{a}{2\sqrt{2}}.\)
Ta có: AO // O'C' => AOC'O' là hình bình hành => A'O // OC' => AO' // (OB'C')
=> d(AO'; B'O) = d(O'; (OB'C')). Gọi I là hình chiếu của O' lên B'C' => \(OI\perp B'C'.\)
Ta có: \(OO'//AA'\Rightarrow OO'\perp (A'B'C'D')\Rightarrow OO'\perp B'C'\Rightarrow B'C'\perp (OO'I).\)
Gọi K là hình chiếu của O' lên OI => \(O'K\perp OI,B'C'\perp O'K\Rightarrow O'K\perp (OB'C')\Rightarrow d(O';(OB'C'))=O'K.\)
Ta có: \(B'D'^{2}=A'B'^{2}+A'D'^{2}-2A'B'.A'D'.\cos \widehat{B'A'D'}=a^{2}(2-\sqrt{2})\)
\(B'D'=a\sqrt{2-\sqrt{2}},A'C'\perp B'D'\Rightarrow \frac{1}{O'I^{2}}=\frac{1}{O'B'^{2}}+\frac{1}{O'C'^{2}}\Rightarrow O'I=\frac{a}{2\sqrt{2}}.\)
Ta có: \(\frac{1}{O'K^{2}}=\frac{1}{O'I^{2}}+\frac{1}{O'O^{2}}\Rightarrow O'K=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{5-2\sqrt{2}}}.\)
Vậy \(d(AO';B'O)=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{5-2\sqrt{2}}}\)
