Trong (ABC), kẻ \(CH\perp AB(H\in AB),\) suy ra \(CH\perp (ABB'A')\) nên A'H là hình chiếu vuông góc của A'C lên (ABB'A'). Do đó:
\(\left [ A'C,(ABB'A') \right ]=(A'C,A'H)=CA'H=30^{\circ}.\)
\(S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC.BC.\sin 120^{\circ}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}\)
\(AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2AC.BC.\cos 120^{\circ}=7a^{2}\Rightarrow AB=a\sqrt{7}\)
\(CH=\frac{2.S_{\triangle ABC}}{AB}=\frac{a\sqrt{21}}{7}\)
Suy ra: \(A'C=\frac{CH}{\sin 30^{\circ}}=\frac{2a\sqrt{21}}{7}.\)
Xét tam giác vuông AA'C ta được: \(AA'=\sqrt{A'C^{2}-AC^{2}}=\frac{a\sqrt{35}}{7}.\)
Suy ra: \(V=S_{\triangle ABC}.AA'=\frac{a^{3}\sqrt{105}}{14}.\)
Do \(CC'//AA'\Rightarrow CC'//(ABB'A').\) Suy ra:
\(d(A'B,CC')=d(CC',(ABB'A'))=d(C,(ABB'A'))=CH=\frac{a\sqrt{21}}{7}.\)
