Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+\sqrt{x}=2y^2-3y+\sqrt{y-1}+1\\ x^3+x+y-6=\sqrt{3x^2-x+y}-2\sqrt{y+2} \end{matrix}\right.$

macdinhtiep

6 năm trước

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 527 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

thannguyenbts5902

ĐK: $x\geq 0,y\geq 1$
Đặt $a=\sqrt{x}\geq 0,b=\sqrt{y-1}\geq 0\Leftrightarrow x=a^2,y=b^2+1$
PT thứ nhất của hệ trở thành:
$a^4+a^2(b^2+1)+a=2(b^2+1)^2-3(b^2+1)+b+1$
$\Leftrightarrow (a^4+a^2b^2-2b^4)+(a^2-b^2)+a-b=0$
$\Leftrightarrow (a^2-b^2)(a^2+2b^2)+(a-b)(a+b)+(a-b)=0$
$\Leftrightarrow (a-b)[(a+b)(a^2+2b^2)+(a+b)+1]=0$
$\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow y=x+1$
Thay vào PT thứ hai của hệ được:
$x^3+2x-5-\sqrt{3x^2+1}+2\sqrt{x+3}=0 \ \ (1)$
Có thể giải PT(1) bằng cách nhân liên hợp hoặc sử dụng đạo hàm như sau: Xét hàm số:
$f(x)=x^3+2x-5-\sqrt{3x^2+1}+2\sqrt{x+3}$ với $x\inD=[0;+\infty )$
$f'(x)=3x^2+2-\frac{3x}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+3}}=3x^2+\frac{1}{\sqrt{x+3} }+\frac{2\sqrt{3x^2+1}-3x}{\sqrt{3x^2+1}}$
Với mọi $x\in D$ luôn có: $2\sqrt{3x^2+1}=\sqrt{12x^2+4}>\sqrt{9x^2}=\left | 3x \right |\geq 3x$
Cho nên f’(x) > 0 với mọi x > 0, hàm số f(x) đồng biến trên D
Vậy phương trình (1) có không quá 1 nghiệm thuộc D.
Thử với x = 1 thỏa mãn phương trình (1). Vậy PT(1) có nghiệm duy nhất x = 1.
Với x = 1 thì y = 2. Hệ đã cho có một nghiệm x = 1, y = 2.

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3-y^3+5x^2-2y^2+10x-3y+6=0\\ \sqrt{x+2}+\sqrt{4-y}=x^3+y^2-4x-2y \end{matrix}\right.$

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3 .Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{25a^2}{\sqrt{2a^2+7b^2+16ab}}+\frac{25b^2}{\sqrt{2b^2+7c^2+16bc}}+\frac{c^2(3+a)}{a}$

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $5(x^2+y^2+z^2)=9(xy+2yz+zx)$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{x}{y^2+z^2}-\frac{1}{(x+y+z)^3}$

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+4x+3}+y(1-\sqrt{x+3})=y^3+(1-y^2)\sqrt{x+1}\\ 2(y^2-1)^2(3x^2+1)=(x^2+1)(1-3x\sqrt{4x^2-3}) \end{matrix}\right.$

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x - lnx trên đoạn $\left [ \frac{1}{e};e \right ]$

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix} 4\sqrt{1+2x^2y}-1=3x+2\sqrt{1-2x^2y}+\sqrt{1-x^2}\\ 2x^3y-x^2=\sqrt{x^4+x^2}-2x^3y\sqrt{4y^2+1} \end{matrix}\right.(x,y\in R)$

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $\widehat{BAC}=60^0$ ,bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng $\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)a, SA=a\sqrt{3}$ và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SB và AC theo a .

mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=x^3+6x^2+9x+1$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;2;3), B(1;-4;5) và mặt phẳng (P): 2x – y – z – 13 = 0. Tìm điểm M ở trên mặt phẳng (P) sao cho MA = MB và mặt phẳng (MAB) vuông góc với mặt phẳng (P).