Cho \(x,y,z\in [0;2]\) thỏa mãn \(x+y+z=3\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{x^2+y^2+2}+\frac{1}{y^2+z^2+2}+\frac{1}{z^2+x^2+2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

SepPhong

5 năm trước

Cho \(x,y,z\in [0;2]\) thỏa mãn \(x+y+z=3\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P=\frac{1}{x^2+y^2+2}+\frac{1}{y^2+z^2+2}+\frac{1}{z^2+x^2+2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 495 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

quachthanhvinh

Ta có \(x^2+y^2+2=(x^2+1)+(y^2+1)\geq 2(x+y),...;\sqrt{xy}\leq \frac{xy+1}{2},...\)
Nên \(P\leq \frac{1}{2}\left [ \frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x} +xy+yz+zx+3\right ]\)
Ta có \((x+y+z)(xy+yz+zx)\geq 9xyz\)
\(\Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-zyz\)
\(\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)\)
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=\frac{(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(x+y)(z+x)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\)
\(=\frac{(x+y+z)^2+xy+yz+zx}{(x+y)(y+z)(z+x)}\)

\(\leq \frac{(x+y+z)^2+xy+yz+zx}{\frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)}\)

\(=\frac{27}{8(xy+yz+zx)}+\frac{3}{8}\)
Suy ra \(P\leq \frac{1}{2}\left [\frac{27}{8(xy+yz+zx)}+xy+yz+zx+\frac{27}{8} \right ]\)
Đặt \(t=xy+yz+zx\)
Do \(x,y,z\in [0;2]\Rightarrow (2-x)(2-y)(2-z)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\geq \frac{4+xyz}{2}\geq 2\Rightarrow t\geq 2\)
Mặt khác: \(xy+yz+zx\leq \frac{1}{3}(x+y+z)^2=3\Rightarrow t\leq 3\)
Vậy \(t\in [2;3]\)
Ta có \(P\leq \frac{1}{2}\left [ \frac{27}{8t}+t+\frac{27}{8} \right ]=f(t)\)

Xét hàm số f(t) với \(t\in [0;2]\) ta có \(f'(t)=\frac{1}{2}\left [ t-\frac{27}{8t^2} \right ]=\frac{8t^3-27}{16t^2}>0 \ \forall t\in [2;3]\) nên hàm số f(t) đồng biến trên [2;3]
\(\Rightarrow f(t)\leq f(3)=\frac{15}{4}\)
Do \(P\leq f(t)\Rightarrow P\leq \frac{15}{4}\). Có \(P= \frac{15}{4}\) khi x = y = z = 1
Vậy giá trị lớn nhất của P là \(\frac{15}{4}\) đạt được khi x = y = z = 1

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Bài này phải làm sao mọi người?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình chữ nhật với AB = a AD = a\(\sqrt{3}\). Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm của tam giác ABC và SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SAvà CD.

Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x^2+xy+\sqrt{x}=2y^2-3y+\sqrt{y-1}+1\\ x^3+x+y-6=\sqrt{3x^2-x+y}-2\sqrt{y+2} \end{matrix}\right.\)

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x^3-y^3+5x^2-2y^2+10x-3y+6=0\\ \sqrt{x+2}+\sqrt{4-y}=x^3+y^2-4x-2y \end{matrix}\right.\)

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3 .Tìm GTNN của biểu thức:
\(P=\frac{25a^2}{\sqrt{2a^2+7b^2+16ab}}+\frac{25b^2}{\sqrt{2b^2+7c^2+16bc}}+\frac{c^2(3+a)}{a}\)

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn \(5(x^2+y^2+z^2)=9(xy+2yz+zx)\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\frac{x}{y^2+z^2}-\frac{1}{(x+y+z)^3}\)

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+4x+3}+y(1-\sqrt{x+3})=y^3+(1-y^2)\sqrt{x+1}\\ 2(y^2-1)^2(3x^2+1)=(x^2+1)(1-3x\sqrt{4x^2-3}) \end{matrix}\right.\)

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x - lnx trên đoạn \(\left [ \frac{1}{e};e \right ]\)

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Giải hệ phương trình sau: \(\left\{\begin{matrix} 4\sqrt{1+2x^2y}-1=3x+2\sqrt{1-2x^2y}+\sqrt{1-x^2}\\ 2x^3y-x^2=\sqrt{x^4+x^2}-2x^3y\sqrt{4y^2+1} \end{matrix}\right.(x,y\in R)\)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, \(\widehat{BAC}=60^0\),bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng \(\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)a, SA=a\sqrt{3}\) và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SB và AC theo a .

mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+1}\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến