Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: \(x^2+y^2+z^2+2xy=\frac{3}{2}+x+y+z\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{6x^2+3y^2+2z^2}{8}+\frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}\)

hades

5 năm trước

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: \(x^2+y^2+z^2+2xy=\frac{3}{2}+x+y+z\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{6x^2+3y^2+2z^2}{8}+\frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 474 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

baotran1134

Đặt \(t=x+y+z>0\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{2}(a+b)^2\leq (a^2+b^2)\) với a = x + y và b = z
ta có
\(\frac{1}{2}(x+y+z)^2\leq (x+y)^2+z^2=x^2+y^2+z^2+2xy=\frac{3}{2}+x+y+z\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}t^2\leq \frac{3}{2}+t\Leftrightarrow t^2-2t-3\leq 0\Leftrightarrow -1\leq t\leq 3\)
Vậy \(0< t\leq 3\)
Áp dụng BĐT Bu-nhia-cốp-xki có
\((x+y+z)^2=(x+\sqrt{2}.\frac{y}{\sqrt{2}}+\sqrt{3}.\frac{z}{\sqrt{3}})^2\leq (1+2+3)(x^2+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{3})\)
\(=6x^2+3y^2+2z^2\)
\(\Rightarrow \frac{6x^2+3y^2+2z^2}{8}\geq \frac{(x+y+z)^2}{8}=\frac{t^2}{8}\)
Áp dụng BĐT: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b},\forall a,b> 0 \Rightarrow \frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}\geq \frac{12}{x+y+z+1}= \frac{12}{t+1}\)
Vậy \(P\geq \frac{t^2}{8}+\frac{12}{t+1}\)
Xét hàm số \(f(t)=\frac{t^2}{8}+\frac{12}{t+2},t\in (0;3]=D\)
\(f'(t)=\frac{t}{4}-\frac{12}{(t+1)^2}=\frac{t(t+1)^2-48}{4(t+1)^2}<0,\forall t\in (0;3]\Rightarrow f(t)\) nghịch biến trên D
Hàm số f(t) đạt GTNN tại t = 3 ⇒ \(min f(t)=f(3)=\frac{33}{8}\)
Vậy \(P\geq \frac{33}{8}\)
Dấu đẳng thức khi và chỉ khi đồng thời có: \(x+y=z, x+z=y+1,\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2},y=1,z=\frac{3}{2}\)
Vậy \(P_{min}=\frac{33}{8} \ khi \ x=\frac{1}{2}, y=1,z=\frac{3}{2}\)

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh AB =2a . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 300. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và cosin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SAB).

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-3}{x+2015}\)

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 3; 5), B(−6; 1; −3) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x + y - 2x + 13 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt cầu có tâm là trung điểm của đoạn thẳng AB đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

Xác định m để hàm số \(y=\frac{m^2-1}{3}x^3+(m+1)x^2-x\) nghịch biến trên R

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(x-y+2z+4=0\) và mặt cầu (S): \(x^2+y^2+z^2+2x-6y+4z=11\). Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB = a, BC = 2a, ABC = 1200. Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm cạnh A’B’, góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (A’B’C’) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) và (ABC).

Bài này phải làm sao mọi người?

Tính tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+cos^5x)sinxdx\)

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AC, đường thẳng A’B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 450. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh A’B vuông góc với B’C.

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB=AC=a, I là trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC, mặt phẳng (SAB) tạo với đáy 1 góc bằng 60. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAB) theo a.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 600 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh bên SA và SB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ S đến mặt phẳng (DMN).

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến