Đặt t=x+y+z>0 Áp dụng BĐT 21(a+b)2≤(a2+b2) với a = x + y và b = z ta có 21(x+y+z)2≤(x+y)2+z2=x2+y2+z2+2xy=23+x+y+z ⇔21t2≤23+t⇔t2−2t−3≤0⇔−1≤t≤3 Vậy 0<t≤3 Áp dụng BĐT Bu-nhia-cốp-xki có (x+y+z)2=(x+2.2y+3.3z)2≤(1+2+3)(x2+2y2+3z2) =6x2+3y2+2z2 ⇒86x2+3y2+2z2≥8(x+y+z)2=8t2 Áp dụng BĐT: a1+b1≥a+b4,∀a,b>0⇒x+z3+y+13≥x+y+z+112=t+112 Vậy P≥8t2+t+112 Xét hàm số f(t)=8t2+t+212,t∈(0;3]=D f′(t)=4t−(t+1)212=4(t+1)2t(t+1)2−48<0,∀t∈(0;3]⇒f(t) nghịch biến trên D Hàm số f(t) đạt GTNN tại t = 3 ⇒ minf(t)=f(3)=833 Vậy P≥833 Dấu đẳng thức khi và chỉ khi đồng thời có: x+y=z,x+z=y+1,1x=2y=3z ⇔x=21,y=1,z=23 Vậy Pmin=833khix=21,y=1,z=23
