Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x > 2, y > 1, z > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2-2(2x+y-3)}}-\frac{1}{y(x-1)(z+1)}\)

mischi

5 năm trước

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x > 2, y > 1, z > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2-2(2x+y-3)}}-\frac{1}{y(x-1)(z+1)}\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 998 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

leducphuonga1

Đặt \(a = x - 2, b= y - 1, c = z \Rightarrow a,b,c>0\)
\(P=\frac{1}{2\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}}-\frac{1}{(a+1)(a+1)(c+1)}\)

Ta có \(a^2+b^2+c^2+1\geq \frac{(a+b)^2}{2}+\frac{(c+1)^2}{2}\geq \frac{1}{4}(a+b+c+1)^2\)
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
Mặt khác \((a+1)(b+1)(c+1)\leq \frac{(a+b+c+3)^3}{27}\)

Khi đó \(P\leq \frac{1}{a+b+c+1}-\frac{27}{(a+b+c+3)^3}\). Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1
Đặt \(t=a+b+c+1> 1\). Khi đó \(P\leq \frac{1}{t}-\frac{27}{(t+2)^3},t>1\)

\(f(t)=\frac{1}{t}-\frac{27}{(t+2)^3},t>1;f'(t)=-\frac{1}{t^2}+\frac{81}{(t+2)^4}=\frac{81t^2-(t+2)^4}{t^2(t+2)^4}\)
Xét \(f'(t)=0\Leftrightarrow 81t^2-(t+2)^4=0\Leftrightarrow t^2-5t+4=0\Leftrightarrow t=4 \ (do \ t>1)\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }f(t)=0\)
Bảng biến thiên

Từ BBT Ta có \(max \ f(x)=f(4)=\frac{1}{8}\)
Vậy \(max \ P=f(4)=\frac{1}{8}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=c=1\\ a+b+c+1=4 \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\Rightarrow x=3;y=2;z=1\)

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng AB là điểm H thuộc đoạn AB sao cho BH= 2AH, góc giữa SC và mặt đáy ABCD bằng 450 . Gọi I là giao điểm của HC và BD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD).

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (-1;-1; 2), B(3;1;1) và mặt phẳng (P); x - 2y + 3z - 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB, tìm góc giữa đường thẳng AB với mặt phẳng (P), và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P)

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Tính tích phân \(\int_{1}^{e} \frac{(x^2 + 1)lnx}{x}dx.\)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi K là điểm thuộc cạnh AB thỏa KB = 3KA. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa SB và KD.

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Cho các số thực x, y, z > 0 thỏa mãn 5(x2 + y2 + z2) = 9(xy + 2yz + zx). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{x}{y^2+z^2}-\frac{1}{(x+y+z)^3}\)

Giải phương trình \(3^{2x+1}-4.3^x+1=0\)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SB = 2a, SA = SC. Cạnh bên SB tạo với đáy một góc \(30^{\circ}\). Tính thể tích khối chóp và góc giữa hai đường thẳng SA, BC.

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x(C)\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông canh a. Mặt bên SAB là tam giác vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng AB là điểm H thuộc đoạn AB sao cho BH= 2AH. Goi I là giao điểm của HC và BD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD).

Tính tích phân \(I=\int_{1}^{e}\left ( \frac{2x+lnx+1}{x} \right )dx\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến