*) Ta có:
\(AN=\sqrt{AB^{2}-BN^{2}}=2a\sqrt{3}\)
Diện tích tam giác ABC là:
\(S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC.AN=4a^{2}\sqrt{3}.\)
Thể tích hình chóp S.ABC là:
\(V_{S.ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}.SA=\frac{1}{3}4a^{2}\sqrt{3}.8a=\frac{32a^{3}\sqrt{3}}{3}\) (đvtt).
*) Ta có:
\(\frac{V_{B.AMN}}{V_{S.ABC}}=\frac{BA}{BA}.\frac{BM}{BS}.\frac{BN}{BC}=\frac{1}{4}\)
\(V_{B.AMN}=\frac{1}{4}V_{S.ABC}=\frac{8a^{3}\sqrt{3}}{3}.\)
Mặt khác, \(SB=SC=4\sqrt{5a}\Rightarrow MN=\frac{1}{2}SC=2\sqrt{5a};AM=\frac{1}{2}SB=2\sqrt{5a}.\)
Gọi H là trung điểm AN thì \(MH\perp AN,\Rightarrow MH=\sqrt{AM^{2}-AH^{2}}=a\sqrt{17}.\)
Diện tích tam giác AMN là \(S_{\triangle AMN}=\frac{1}{2}AN.MH=\frac{1}{2}2a\sqrt{3}.a\sqrt{17}=a^{2}\sqrt{51}.\)
Vậy khoảng cách từ B đến (AMN) là:
\(d(B,(AMN))=\frac{3V_{B.AMN}}{S_{\triangle AMN}}=\frac{8a^{3}\sqrt{3}}{a^{2}\sqrt{51}}=\frac{8a}{\sqrt{17}}=\frac{8a\sqrt{17}}{17}.\)
