Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá. Cho các số dương x, y, z thoả mãn: x + y + z =1.Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=\frac{2y+z-2x}{x^2+x}+\frac{2z+x-2y}{y^2+y}+\frac{2x+y-2z}{z^2+z}\)

thuthao120703

5 năm trước

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Cho các số dương x, y, z thoả mãn: x + y + z =1.Tìm giá trị nhỏ nhất của
\(P=\frac{2y+z-2x}{x^2+x}+\frac{2z+x-2y}{y^2+y}+\frac{2x+y-2z}{z^2+z}\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 277 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

ctvloga75

Ta có:=VT(3)
\(P=\frac{y+1-3x}{x^2+x}+\frac{z+1-3y}{y^2+y}+\frac{x+1-3z}{z^2+z}\)
\(=\frac{y+1}{x(x+1)}+\frac{z+1}{y(y+1)}+\frac{x+1}{z(z+1)}-3\left ( \frac{1}{1+x} +\frac{1}{1+y} +\frac{1}{1+z}\right )\)
Ta có: BĐT: \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}},a,b>0\) & \(ab<1 (1)\)
Thật vậy: \((1)\Leftrightarrow \frac{(a+b)+2}{1+(a+b)+2}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}\Leftrightarrow (\sqrt{ab-1})(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\leq 0\) luôn đúng do ab < 1
Dấu bằng xảy ra khi a = b
Ta sẽ cm \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\leq \frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}} \ (2)\)

Thật vậy BĐT \(\Leftrightarrow \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}} \leq \frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}=VP \ (3)\)
\(VT(3)\leq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{z\sqrt[3]{xyz}}}\leq \frac{4}{1+\sqrt{\sqrt{xy}\sqrt{x\sqrt[3]{xyz}}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\) =VT(3)
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
Từ đó ta có \(P\geq \frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}-\frac{9}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
Đặt \(t=\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow 0 \(P\geq \frac{3}{t}-\frac{9}{1+t}=f(t)\)
\(f'(t)=\frac{-3}{t^2}+\frac{9}{(t+1)^2}=\frac{3(2t^2-2t-1)}{(t^2+t)^2}< 0,\forall t\in\bigg (0;\frac{1}{3}\bigg ]\)
Do đó \(f(t)\geq f(\frac{1}{3})=\frac{9}{4}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{9}{4}\) đạt được khi \(\left\{\begin{matrix} x=y=z=\frac{1}{3}\\ t=\frac{1}{3} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông tại A với AB = a; \(AC=2a\sqrt{2}\). Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn BC thỏa mãn HB = 2HC, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC . và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.

Tìm nguyên hàm sau: \(F(x)=\int \frac{\sin x}{1+\cos x}dx\)

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC \(=a\sqrt{3}\) và mặt bên BB'C'C là hình vuông. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA', BC'.

Cho x, y là hai số thỏa mãn: \(x,y\geq 1\) và \(3(x+y)=4xy.\) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=x^{3}+y^{3}-3\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}} \right )\)

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=\frac{x^2-3x+6}{x-1}\) trên đoạn [2;4]

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(d1: \frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{1};d_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{2}\) và mặt phẳng (P): \(x-y-2z+3=0\).Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1, d2 .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, với AB = 2a, AD = a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 3; -4), B(5; 3; -1) và mặt phẳng (P): x - y - z = 0. Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) qua A và song song với (P). Tìm tọa độ điểm C trên (P) sao cho tam giác ABC vuông cân tại C.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC), gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho MC = 2MS. Biết AB = 3, BC = \(3\sqrt{3}\), tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM.

Tính tích phân \(I=\int_{0}^{1} (x-3)e^xdx.\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến