+ Điều kiện: $x+y+7\geq 0$
+ Ta có $(1)\Leftrightarrow (x-1)^3-(x-1)^2+x-1=(y+1)^3-(y+1)^2+y+1$
+ Xét hàm $f(t)t^3-t^2+t\Rightarrow f'(t)=3t^2-2t+1>0,\forall t\in R$, suy ra f(t) đồng biến trên R $\Rightarrow f(x-1)=f(y+1)\Leftrightarrow x-1=y+1\Leftrightarrow y=x-2$
+ Thay y = x- 2 vào phương trình (1) ta có pt:
$x^2+x-14=\sqrt{2x+1}.\sqrt[3]{x+4}\Leftrightarrow x^2+x-20$
$=\sqrt{2x+1}.\sqrt[3]{x+4}-3\sqrt[3]{x+4}+3\sqrt[3]{x+4}$
$\Leftrightarrow (x-4)(x+5)=\sqrt[3]{x+4}(\sqrt{2x+1}-3)+3(\sqrt[3]{x+4}-2)$

$\Leftrightarrow (x-4)\left [ x+5-\frac{2\sqrt[3]{x+4}}{\sqrt{2x+1}+3}-\frac{3}{\sqrt[3]{x+4}+2\sqrt[3]{x+4}+4} \right ]=0$
$\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x-4=0\\\\ A=x+5-x+5-\frac{2\sqrt[3]{x+4}}{\sqrt{2x+1}+3}-\frac{3}{\sqrt[3]{x+4}+2\sqrt[3]{x+4}+4} \end{matrix}$
+ Với $x-4=0\Leftrightarrow x=4\Rightarrow y=2$; suy ra nghiệm của hệ là (4;2)
+ Ta sẽ chứng minh pt (3) vô nghiệm
Vì $\sqrt[3]{(x+4)^2}+\sqrt[3]{x+4}+4>4\forall x\geq -\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{3}{\sqrt[3]{x+4}+2\sqrt[3]{x+4}+4}<\frac{3}{4}$(*)

$\sqrt{2x+1}+3\geq 3\Rightarrow \frac{2\sqrt[3]{x+4}}{\sqrt{2x+1}+3}\leq \frac{2\sqrt[3]{x+4}}{3}=\frac{2\sqrt[3]{x+4}1.1}{3}$

Ta lại có $\frac{2}{9}(x+4+1+1)=\frac{2x+12}{9}\Rightarrow \frac{-2\sqrt[3]{x+4}}{\sqrt{2x+5}+3} \geq -\frac{2x+12}{9} \ (**)$
Từ $(*), (**)\Rightarrow A>x+5-\frac{2x+12}{9}-\frac{3}{4}=\frac{28x+105}{36}>0\forall x\geq -\frac{1}{2}$
+ Vậy nghiệm của hệ là (4; 2)