Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa! Xét các số thức x, y thỏa mãn: \(x+y+1=2(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+3})(*)\) 1. Tìm giá trị lớn nhất của x + y. 2. Tìm m để \(3^{x+y-4}+(x+y+1)2^{7-x-y}-3(x^2+y^2)\leq m\) đúng với mọi x, y thỏa mãn (*)

DuyDu

5 năm trước

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Xét các số thức x, y thỏa mãn: \(x+y+1=2(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+3})(*)\)

1. Tìm giá trị lớn nhất của x + y.

2. Tìm m để \(3^{x+y-4}+(x+y+1)2^{7-x-y}-3(x^2+y^2)\leq m\) đúng với mọi x, y thỏa mãn (*)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 297 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

dodaihocsw

1.
Điều kiện \(x\geq 2,y\geq -3\)
Ta có \((*)\Leftrightarrow (x+y+1)^2=4(x+y+1+2\sqrt{x-2}\sqrt{y+3}) (**)\)
\(2\sqrt{x-2}\sqrt{y+3}\leq x+y+1\) nên từ (**) suy ra \((x+y+1)^2\leq 8(x+y+1)\)
\(\Rightarrow x+y+1\leq 8\Rightarrow x+y\leq 7\)
Ta có x = 6, y = 1 thỏa mãn (*) và x + y = 7. Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức x + y bằng 7
2.
Vì \(2\sqrt{x-2}\sqrt{y+3}\geq 0\)nên từ (**) suy ra \((x+y+1)^2\leq 4(x+y+1)\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x+y+1\leq 0\\ x+y+1\geq 4 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x+y+1=0 (vi \ x+y+1\geq 0)\\ x+y+1\geq 4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x+y=-1\\ x+y\geq 3 \end{matrix}\)
Vì \(x^2\geq 2x\) do \((x\geq 2),y^2+1\geq 2y\) nên \(x^2+y^2+1\geq 2(x+y)\)
Do đó
\(3^{x+y-4}+(x+y+1)2^{7-x-y}-3(x^2+y^2)\)\(\leq 3^{x+y-4}+(x+y+1)2^{7-x-y}-6(x+y)+3\)
Đặt t = x + y, ta có t = -1 hoặc \(3\leq t\leq 7\)
Xét hàm số \(f(t)=3^{t-4}+(t+1).2^{7-t}-6t+3\). Ta có \(f(-1)=\frac{2188}{243}\)
\(f'(t)=3^{t-4}ln3+2^{7-t}-(t+1)2^{7-t}ln2-6\)
\(f''(t)=3^{t-4}ln^23+\left [ (t+1)ln2-2 \right ]2^{7-t}ln2> 0, \forall totin [3;7]\)
Suy ra f'(t) đồng biến trên (3;7). Mà f'(t) liên tuc trên [3,7] và f'(3) f'(7) < 0, do đó f'(t) = 0 có nghiệm duy nhất \(t_0\in (3;7)\)
f'(t) = 0 có nghiệm duy nhất \(t_0\in (3;7)\)
Bảng biến thiên

Suy ra \(3^{x+y+4}+(x+y+1)2^{7-x-y}-3(x^2+y^2)\leq \frac{148}{3}\) với mọi x, y thỏa mãn (*)
Đẳng thức xảy ra khi x = 2, y = 1
Vậy \(m\geq \frac{148}{3}\)

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Tính tích phân \(\small I=\int_{0}^{1}(x^2+x.e^x)dx\)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(x+y+2z-3=0\) và hai điểm A (2;1;3); B (6; -7;8) . Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

Tính tích phân: \(I=\int_{0}^{1}(1+e^x)xdx\)

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Tính tích phân \(I=\int_{0}^{1}(x+1)(e^x-3)dx\)

Cho hàm số \(y=x^3+mx^2+7x+3\). Tìm m để hàm số đồng biến trên R.

Cho hàm số \(\small y=x^3+3x^2+1 \ \ (C)\)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng \(\small \Delta : 3x - y - 2 = 0\) sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 3; 1) và đường thẳng d:

\(\left\{\begin{matrix} x=-2+t\\ y=1+2t \\ z=-1-2t \end{matrix}\right..\) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với d.

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \(a\sqrt{3}\) . Tính thể tích khối chóp S.ABC và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.

mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!

Cho số phức z = 1- i.Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(w=\frac{z^2+z+1}{\bar{z}}\)

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA’ = 2a và góc giữa đường thẳng AA’ và mặt phẳng (ABC) là 600 . Tính thể tích khối tứ diện ACA’B’.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến