Mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: (P) qua A, B và song song với CD.
Trường hợp 2: (P) qua A, B và cắt CD. Suy ra (P) cắt CD tại trung điểm I của CD.
Trường hợp 1: (P) qua A, B và song song với CD.
Vec tơ pháp tuyến của (P): n → = [ A B → , C D → ] \overrightarrow{n}=\left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right ] n = [ A B , C D ]
A B → = ( − 3 ; − 1 ; 2 ) , C D → = ( − 2 ; 4 ; 0 ) ⇒ n → = ( − 8 ; − 4 ; − 14 ) . \overrightarrow{AB}=(-3;-1;2),\overrightarrow{CD}=(-2;4;0)\Rightarrow \overrightarrow{n}=(-8;-4;-14). A B = ( − 3 ; − 1 ; 2 ) , C D = ( − 2 ; 4 ; 0 ) ⇒ n = ( − 8 ; − 4 ; − 1 4 ) .
Phương trình (P): 4 x + 2 y + 7 z − 15 = 0. 4x+2y+7z-15=0. 4 x + 2 y + 7 z − 1 5 = 0 .
Trường hợp 2: (P) qua A, B và cắt CD. Suy ra (P) cắt CD tại trung điểm I của CD.
I ( 1 ; 1 ; 1 ) ⇒ A I → = ( 0 ; − 1 ; 0 ) ; I(1;1;1)\Rightarrow \overrightarrow{AI}=(0;-1;0); I ( 1 ; 1 ; 1 ) ⇒ A I = ( 0 ; − 1 ; 0 ) ; n → = [ A B → , A I → ] = ( 2 ; 0 ; 3 ) . \overrightarrow{n}=\left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AI} \right ]=(2;0;3). n = [ A B , A I ] = ( 2 ; 0 ; 3 ) .
Phương trình (P): 2 x + 3 z − 5 = 0 2x+3z-5=0 2 x + 3 z − 5 = 0
Kết luận: Vậy (P): 4 x + 2 y + 7 z − 15 = 0 4x+2y+7z-15=0 4 x + 2 y + 7 z − 1 5 = 0 2 x + 3 z − 5 = 0. 2x+3z-5=0. 2 x + 3 z − 5 = 0 .
