Cho ba số thực a, b, c thỏa \(0\leq a\leqslant b\leqslant c\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{2a^2+b^2+c^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}+\frac{a+b+c}{(a+b)c}+2\sqrt{a+b+c}\)

princepkhd

5 năm trước

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 289 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Thuylinh182141

Ta có: \(P=\frac{2a^2+b^2+c^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}+\frac{a+b+c}{(a+b)c}+2\sqrt{a+b+c}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}+2\sqrt{a+b+c}\)
Vì \(0\leq a< b\leqslant c\) nên \(a^2+b^2\leq (\frac{a}{2}+c)^2\) dấu bằng xảy ra khi a = 0
Tương tự: \(a^2+b^2\leq (\frac{a}{2}+c)^2\) dấu bằng xảy ra khi a = 0.
Nên: \(P\geq \frac{1}{(\frac{a}{2}+b)^2}+\frac{1}{(\frac{a}{2}+c)^2}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}+2\sqrt{a+b+c}\) dấu bằng xảy ra khi a = 0
Áp dụng bất đẳng thức: với x > 0, y > 0 ta có:
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{1}{(x+y)^2}\) dấu bằng xảy ra khi x = y. (phải chứng minh)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{(x+y)}\) dấu bằng xảy ra khi x = y.
Ta có: \(P\geq \frac{8}{(a+b+c)^2}+\frac{4}{a+b+c}+2\sqrt{a+b+c}\)
Đặt \(t=\sqrt{a+b+c}\) với t > 0
Xét hàm số \(f(t)=\frac{8}{t^4}+\frac{4}{t^3}+2t\) với t > 0
Ta có: \(f'(t)=-\frac{32}{t^5}+\frac{8}{t^3}+2=\frac{2t^5-8t^2-32}{t^3}\)
\(f'(t)=0\Leftrightarrow 2t^5-8t^2-32=0\Leftrightarrow 2(t^4+2t^2+4t+8)=0\Leftrightarrow t=2\)
Bảng biến thiên:

Suy ra \(P\geq \frac{11}{2}\) dấu bằng xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} t=\sqrt{a+b+c}=2\\ a=0,b=c\\ a+b=c \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=0\\ b=c=2 \end{matrix}\right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{11}{2}\)

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

a. Cho số phức z = 3 - 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức: \(w=iz-\frac{1}{z}\)
b. Giải phương trình: \(log_2(2x-3)^2-2log_2x=4\)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y=-x^3+3x+2\)
b.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ thỏa mãn phương trình \(y''_{(x_0)}=12\)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = 2a và \(SA\perp (ABCD);\) góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng \(45^{\circ}.\) Gọi M là trung điểm BC và N là trung điểm của SC

a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD, tính thể tích khối tứ diện NMCD

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1) , B(3; -1;1), C(-2;0; 2). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua C và vuông góc với đường thẳng AB. Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (P) .

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;3;0) và B(1;2;1). Tìm tọa đọ điểm M trên trục hoành sao cho tam giác ABM có diện tích bằng \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

Tính tích phân \(I=\int_{0}^{1}\frac{e^x+x}{e^x}dx\)

Cứu với mọi người!

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+2}{3}\) và mặt phẳng \((P):x+2y-2z+3=0\). Viết phương trình của mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với d. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 2.

Tính tích phân \(I=\int_{0}^{1}(2x+1)e^xdx\)

mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!

Tính tích phân sau: \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{x-cos^3x}{cos^2x}dx\)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình (d) \(\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{-1}, (P)2x+y+z+2=0\). Tìm A là giao điểm của (d) và (P), viết phương trình đường thẳng (d') là hình chiếu vuông góc của (d) trên mặt phẳng (P).

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến