mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá! Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a, b, c \(\in\) [1; 2] . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: \(P=\frac{2(ab+bc+ca)}{2(2a+b+c)}+\frac{8}{2a(b+c)+bc+4}-\frac{b+c+4}{\sqrt{bc}+1}\)

duhangmo712

5 năm trước

mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!

Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a, b, c \(\in\) [1; 2] . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
\(P=\frac{2(ab+bc+ca)}{2(2a+b+c)}+\frac{8}{2a(b+c)+bc+4}-\frac{b+c+4}{\sqrt{bc}+1}\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 224 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Quydaknong2000

Vì \(a,b,c\in [1;2]\) nên ta có \((a-1)(b-2)(c-2)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow abc+2(2a+b+c)\geq 2(b+c)a+bc+4\)
Dấu "=" xảy ra khi a = 1 hoặc b = 2 hoặc c = 2
Do đó và do \(a\geq 1\) nên ta có
\(P=\frac{2(ab+bc+ca)}{2(2a+b+c)+abc}+\frac{8}{2a(b+c)+bc+4}-\frac{b+c+4}{\sqrt{bc}+1}\)
\(\leq \frac{2(ab+bc+ca)}{2a(b+c)+bc+4}+\frac{8}{2a(b+c)+bc+4}-\frac{b+c+4}{\sqrt{bc}+1}\)
\(=\frac{2a(b+c)+bc+4+bc+4}{2a(b+c)+bc+4}-\frac{b+c+4}{\sqrt{bc}+1}\)
\(=1+\frac{bc+4}{2a(b+c)+bc+4}-\frac{b+c+4}{\sqrt{bc}+1}\)
\(\leq 1+\frac{bc+4}{2(b+c)+bc+4}-\frac{b+c+4}{\sqrt{bc}+1}\)

\(\leq 1+\frac{bc+4}{bc+4\sqrt{bc}+4}-\frac{2\sqrt{bc}+4}{\sqrt{bc}+1}\)
Đặt \(t=\sqrt{bc}\in [1;2]\)
Xét hàm số \(f(t)=1+\frac{t^2+4}{(t+2)^2}-\frac{2t+4}{t+1}\) trên [1;2]
\(f'(t)=\frac{4t-8}{(t+2)^2}+\frac{2}{(t+1)^2}\geq -\frac{4}{27}+\frac{2}{9}>0\)
nên f(t) liên tục và đồng biến trên [1;2]
Suy ra \(P\leq f(t)\leq f(2)=-\frac{7}{6}\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(P=-\frac{7}{6}\) khi a = 1, b = c =2

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cứu với mọi người!

Tính tích phân sau: \(\int_{0}^{1}x(x-1)^3dx\)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết góc giữa SB và mặt đáy bằng \(60^{\circ}.\) Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAD đến mặt phẳng (SBD).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(7;2;1), B(-5;-4;-3) và mặt phẳng \((P): 3x-2y-6z+38=0\)
a) Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB
b) Chứng minh (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) .

Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(\small f(x)=\sqrt{3x+1}+3\sqrt{6-x}\)

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=x^3-3x^2+2\)

Bài này phải làm sao mọi người?

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\frac{x+1}{x-3}\)

Tìm cực trị của hàm số \(f(x)=x^4-2\)

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Giải phương trình: \(3^{\left | 3x-4 \right |}=9^{2x-2}\)

Cho x, ,y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
\(\small P=\frac{2}{x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}}-\frac{3}{x+y+z}\)

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SMN).

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến