\(S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}CA.CB=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}\)
Từ giả thiết có \(V_{ABC.A'B'C'}=S_{\triangle ABC}.CC';\)
Gọi H là hình chiếu của D trên AB
\(\Rightarrow AB\perp (CC'H)\)
\(\Rightarrow ((ABC'),(ABC))=(CH,HC')=CHC'=60^{\circ}\)
Xét tam giác vuông ABC có CH là chiều cao
nên \(\frac{1}{CH^{2}}=\frac{1}{CA^{2}}+\frac{1}{CB^{2}}=\frac{1}{3a^{2}}+\frac{1}{a^{2}}=\frac{4}{3a^{2}}\Rightarrow CH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Xét tam giác vuông CHC' có
\(CC'=HC\tan 60^{\circ}=\frac{3a}{2}\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}.\frac{3a}{2}=\frac{a^{3}3\sqrt{3}}{4}\) (đvtt)
Gọi M là trung điểm của AB
I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C'.ABC
Ta có IA = IB = IC = IC'
I thuộc d với d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (d đi qua O và vuông góc với (ABC)
Và I thuộc mặt trung trực của CC'
Tam giác IMC có \(MC = a,IM=\frac{CC'}{2}=\frac{3a}{4}\)
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C'.ABC là \(R=IC=\sqrt{IM^{2}+CM^{2}}=\frac{5a}{4}\)
