Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Áp dụng BDT Cô si cho 3 số dương $:a; b ; c$
$\frac{a + b + c}{3} ≥ \sqrt[3]{abc} ⇔ (\frac{a + b + c}{3})³ ≥ abc ⇔ (\frac{4}{3})³ ≥abc (1) $
Áp dụng BDT Cô si cho 3 số dương $:a + b; b + c;c + a$
$\frac{(a + b) + (b + c) + (c + a)}{3} ≥ \sqrt[3]{(a + b)(b + c)(c + a)} $
$⇔ [\frac{2(a + b + c)}{3}]³ ≥ (a + b)(b + c)(c + a)$
$⇔ (\frac{8}{3})³≥ (a + b)(b + c)(c + a) (2)$
$(1).(2) : (\frac{32}{9})³ ≥ abc(a + b)(b + c)(c + a)$
$⇒ 64 = 4³ = (\frac{36}{9})³ > (\frac{32}{9})³ ≥ abc(a + b)(b + c)(c + a) (3)$
Mặt khác :
$ (a + b)² ≥ 4ab ⇔ a + b ≥\frac{4ab}{a + b} (4)$
$ (b + c)² ≥ 4bc ⇔ b + c ≥\frac{4bc}{b + c} (5)$
$ (c + a)² ≥ 4ca ⇔ c + a ≥\frac{4ca}{c + a} (6)$
$(3).(4).(5)$ và từ $(3):$
$ ⇒ (a + b)(b + c)(c + a) ≥ \frac{64a²b²c²}{(a + b)(b + c)(c + a)} > a³b³c³ (đpcm)$
