Gọi $M$ là trung điểm $BC$
$\Rightarrow AM\perp BC$
Do $AB = AC; \, SA \, \, chung$
nên $SB = SC$
$\Rightarrow SM\perp BC$
Ta có:
$\begin{cases}(SBC)\cap(ABC)=BC\\SM\subset (SBC)\\SM\perp BC\\AM\subset(ABC)\\AM\perp BC \end{cases} \, \Rightarrow \widehat{((SBC);(ABC))} = \widehat{SMA} = 60^o$
$\Rightarrow SA = AM.\tan60^o = BM.\tan60^o.\tan60^o = \dfrac{AB}{2}.\tan^260^o = 3a$
Gọi $O$ là tâm của $ΔABC$
$\Rightarrow OA = OB = OC = \dfrac{2}{3}AB.\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$
Từ $O$ kẻ đường thẳng $d \perp (ABC)$
$\Rightarrow d$ là trục của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Gọi $N$ là trung điểm $SA$
Từ $N$ kẻ đường trung trực của $SA$ cắt $d$ tại $I$
$\Rightarrow I$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
$\Rightarrow R = IA = IB = IC = IS$
Ta có: $IO\perp (ABC)$
$\Rightarrow IO\perp OA$
$\Rightarrow IA^2 = IO^2 + OA^2 = \left(\dfrac{SA}{2}\right)^2 + OA^2 = \left(\dfrac{3a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \dfrac{43a^2}{12}$
$\Rightarrow S_{\text{mặt cầu}} = 4\pi.IA^2 = 4\pi.\dfrac{43a^2}{12} = \dfrac{43a^2}{3} \, (đvdt)$
$\\$
Bài toán về mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Trường hợp cạnh bên có độ dài $h$ vuông góc với mặt đáy có bán kính $r$:
Ta có công thức tính nhanh bán kính $R$ của mặt cầu:
$R = \sqrt{r^2 + \dfrac{h^2}{4}}$
Áp dụng bài toán trên: Với $SA = h = 3a; \, r = OA = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$
$\Rightarrow R^2 = \left(\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \dfrac{(3a)^2}{4} = \dfrac{43a^2}{12}$
