Đáp án:
$R = \sqrt{10} \, cm$
Giải thích các bước giải:
Kẻ $ON\perp AB; \, OK\perp CD$
$\Rightarrow AN = NB = CK = KD = 3 \, cm$
$\Rightarrow MNOK$ la hình chữ nhật
$\Rightarrow MN = OK = BM - BN = BM - 3$
$\Rightarrow KM = CM - CK = CM - 3$
Ta có:
$OM = \sqrt2$
$\Leftrightarrow OM^2 = 2$
$\Leftrightarrow MN^2 + MK^2 = 2$
$\Leftrightarrow (BM - 3)^2 + (CM - 3)^2 = 2$ $(1)$
Ta lại có:
$R^2 = OC^2 = OK^2 + CK^2 = (BM - 3)^2 + 3^2$
$\Leftrightarrow (BM - 3)^2 + 9 = R^2$ $(2)$
$(1),(2) \Rightarrow (CM -3)^2 = 11 - R^2$ $(*)$
Mặt khác, ta có:
$BM.AM = CM.MD$
$\Leftrightarrow BM(6 - BM) = CM(6 - CM)$
$\Leftrightarrow -BM^2 + 6BM + CM^2 - 6CM = 0$ $(3)$
$(1),(3) \Leftrightarrow \begin{cases}BM^2 - 6BM + CM^2 - 6CM + 18 = 2\\ -BM^2 + 6BM + CM^2 - 6CM = 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow CM^2 - 6CM + 8 = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}CM = 2\\CM =4\end{array}\right.$
Thay vào $(*)$ ta đều được: $R = \sqrt{10} \, cm$
