a) Xét $ΔNDM$ và $ΔMCB$ có:
$\widehat{D} = \widehat{C} = 90^o$
$\widehat{DMN} = \widehat{CBM}$ (cùng phụ $\widehat{CMB}$)
Do đó $ΔNDM\sim ΔMCB \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{ND}{MC} = \dfrac{MD}{BC}$
$\Rightarrow ND = \dfrac{MC.MD}{BC} = \dfrac{15.(20 - 15)}{20} = \dfrac{15}{4} \, cm$
b) Dựa vào kết quả câu a, ta có:
$ND = \dfrac{MC.MD}{BC}$
$= \dfrac{MC.(CD - MC)}{BC}$
$= \dfrac{MC.CD - MC^2}{BC}$
$= \dfrac{20MC - MC^2}{20}$
$= \dfrac{-(MC^2 - 20MC + 100) + 100}{20}$
$= \dfrac{-(MC - 10)^2 + 100}{20}$
Ta có:
$-(MC - 10)^2 \leq 0$
$\Leftrightarrow - (MC - 10)^2 + 100 \leq 100$
$\Leftrightarrow \dfrac{-(MC - 10)^2 + 100}{20} \leq \dfrac{100}{20} = 5$
Hay $ND \leq 5$
Do đó $ND_{max} = 5 \Leftrightarrow MC - 10 = 0 \Leftrightarrow MC = 10$
$\Rightarrow MC = \dfrac{1}{2}CD$
$\Rightarrow M$ là trung điểm $CD$
Vậy $M$ là trung điểm $CD$ để $ND$ có độ dài lớn nhất
