Bài 1a) Số hạng tổng quát trong khai triển $\left(2x+\dfrac{1}{2}\right)^{10}$ có dạng:
$\sum\limits_{k=0}^{10}C_{10}^k(2x)^{10-k}\cdot\left(\dfrac12\right)^k\qquad (0 \leq k \leq 10;\, k\in \Bbb N)$
$=\sum\limits_{k=0}^{10}C_{10}^k.2^{10 - 2k}.x^{10 - k}$
Số hạng chứa $x^6$ ứng với phương trình:
$10 - k = 6 \Leftrightarrow k = 4 \quad (nhận)$
Vậy số hạng chứa $x^6$ là $C_{10}^k.2^{10-2.4}.x^6 = 840x^6$
b) Số hạng tổng quát trong khai triển $(1 + x)^5$ có dạng:
$\sum\limits_{k=0}^{5}C_{5}^k.x^k\qquad (0 \leq k \leq 5;\, k\in \Bbb N)$
Số hạng chứa $x^3$ ứng với $k=3$
Vậy hệ số chứa $x^3$ là $C_5^3 = 10$
Bài 2:
Ta có:
$5C_n^{n-1} = C_n^3\qquad (n \geq 3;\, n\in \Bbb N)$
$\Leftrightarrow 5\cdot\dfrac{n!}{(n-1)!.1!} = \dfrac{n!}{3!.(n-3)!}$
$\Leftrightarrow 30n = n(n-1)(n-2)$
$\Leftrightarrow (n-1)(n-2) - 30 = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} n= -4 \quad (loại)\\n = 7\quad (nhận)\end{array}\right.$
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức $Newton$ $\left(\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{1}{x}\right)^7$ có dạng:
$\sum\limits_{k=0}^7C_7^k\left(\dfrac{x^2}{2}\right)^{7-k}\cdot\left(-\dfrac{1}{x}\right)^k\qquad (0 \leq k \leq 7;\, k \in \Bbb N)$
$= \sum\limits_{k=0}^7C_7^k(-1)^k.2^{k-7}.x^{14 - 3k}$
Số hạng chứa $x^5$ ứng với phương trình:
$14 - 3k = 5 \Leftrightarrow k = 3 \quad (nhận)$
Vậy số hạng chứa $x^5$ là $C_7^3(-1)^3.2^{-4} = -\dfrac{35}{16}$
