Lời giải:
Do \(2017^y=x^3+x^2+x+1\in\mathbb{Z}\Rightarrow y\geq 0\)
Ta có:
\(2017^y=x^3+x^2+x+1=(x^2+1)(x+1)\)
Thấy rằng \(2017^y\) lẻ nên \(x^2+1,x+1\) lẻ.
Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của \(x^2+1,x+1\Rightarrow x+1\vdots d\Rightarrow x^2+x\vdots d\)
Mà \(x^2+1\vdots d\Rightarrow x-1\vdots d\), kết hợp với \(x+1\vdots d\Rightarrow 2\vdots d\). Do $x+1,x^2+1$ đều lẻ nên $d=1$
Như vậy, $x+1,x^2+1$ nguyên tố cùng nhau
Kết hợp với \((x+1)(x^2+1)=2017^y\) với $2017$ là số nguyên tố suy ra xảy ra 2 TH sau:
TH1: \(\left\{\begin{matrix} x+1=1\\ x^2+1=2017^y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0\\ y=0\end{matrix}\right.\)
TH2: \(\left\{\begin{matrix} x+1=2017^y\\ x^2+1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0\\ y=0\end{matrix}\right.\)
Vậy \(x=y=0\)
