Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Ta có $: ∠ACE = ∠IAE $ ( góc nội tiếp bằng góc
tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bị chắn)
$ ⇒ ΔIAE ≈ ΔICA (g.g) $ (chung góc $I$)
$ ⇒ \dfrac{IA}{IE} = \dfrac{IC}{IA} ⇔ IA² = IC.IE (1)$
Mặt khác:
$IA = IB; OA = OB ⇒ IO $ là trung trực $AB ⇒ IO⊥AB$
$ ΔAIO$ vuông tại $A$ đường cao $AM$ nên
có hệ thức lượng $: IA² = IO.IM (2)$
Bắc cầu $: (1); (2) ⇒ IC.IE = IO.IM ⇔ \dfrac{IE}{IM} = \dfrac{IO}{IC}$
$ ⇒ ΔIEM ≈ ΔIOC $ (chung góc $I$)
$ ⇒ ∠IME = ∠ICO ⇒ ∠ECO + ∠EMO = ∠IME + ∠EMO = 180^{0} $
$ ⇒ OMEC$ nội tiếp (đpcm)
b) Theo câu a) $OMEC$ nội tiếp
$ ⇒ ∠OMC = ∠OEC $( cùng chắn cung $OC$)
$ = ∠OCE $( vì tam giác $OCE$ cân tại $O) = ∠IME$
$ ⇔ 90^{0} - ∠OMC = 90^{0} - ∠IME ⇔ ∠AMC = ∠AME $(đpcm)
c) Theo câu a) $ OMEC$ nội tiếp
$ ⇒ ∠EOC = ∠EMC = 2∠AMC (3)$ ( vì $∠AMC = ∠AME)$
Lại có $: ∠EOC = 2∠EBC (4)$ ( góc ở tâm = 2 góc nt cùng chắn cung $EC$)
Bắc cầu $(3); (4) ⇒ ∠EBC = ∠AMC = ∠AME (5)$
Mặt khác $: ∠BEC = ∠MAC (6)$( cùng chắn cung $BC$)
Từ $(5); (6) ⇒ ΔBCE ≈ ΔMCA (g.g) (*)$
Tương tự $: ∠BCE = ∠MAE (7)$ ( cùng chắn cung $BE$)
Từ $(5); (7) ⇒ ΔBCE ≈ ΔMAE (g.g) (**)$
Bắc cầu $(*); (**) ⇒ ΔMCA ≈ ΔMAE$
$ ⇒ \dfrac{MC}{MA} = \dfrac{MA}{ME} ⇔ ME.MC = MA² = MB² (8)$
Mặt khác $:MA$ là phân giác trong $∠EMC$
mà $MI⊥MA ⇒ MI$ phân giác ngoài $∠EMC$
Theo tính chất phân giác trong và ngoài ta có:
$\dfrac{IE}{IC} = \dfrac{ME}{MC} = \dfrac{ME.MC}{MC²} = (\dfrac{MB}{MC})² (đpcm)$ ( theo $8$)
