Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)y=x^2$ và $(d)y=2(m-2)x-(m^2+2m-3)$ là:
`\qquad x^2=2(m-2)x-(m^2+2m-3)=0`
`<=>x^2-2(m-2)x+m^2+2m-3=0` $(1)$
Ta có:
`a=1;b=-2(m-2)=>b'=-(m-2);c=m^2+2m-3`
`∆'=b'^2-ac`
`∆'=[-(m-2)]^2-1.(m^2+2m-3)`
`∆'=m^2-4m+4-m^2-2m+3=-6m+7`
$\\$
Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt thì
$(1)$ có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2`
`<=>∆'>0`
`<=>-6m+7>0<=>m<7/ 6`
$\\$
Với `m<7/ 6`, theo hệ thức Viet ta có:
`x_1+x_2={-b}/a=2(m-2)`
`x_1x_2=c/a=m^2+2m-3`
$\\$
Để `1/x_1+1/x_2={x_1+x_2}/5`
`<=>{x_2+x_1}/{x_1x_2}-{x_1+x_2}/5=0`
`<=>(x_1+x_2).(1/{x_1x_2}-1/ 5 )=0`
`<=>2(m-2)(1/{m^2+2m-3}-1/ 5)=0`
$⇔\left[\begin{array}{l}2(m-2)=0\\\dfrac{1}{m^2+2m-3}-\dfrac{1}{5}=0\end{array}\right.$
$⇔\left[\begin{array}{l}m=2(loại)\\\dfrac{1}{m^2+2m-3}=\dfrac{1}{5}\end{array}\right.$
`<=>m^2+2m-3=5`
`<=>m^2+2m+1=9`
`<=>(m+1)^2=9`
$⇔\left[\begin{array}{l}m+1=3\\m+1=-3\end{array}\right.$
$⇔\left[\begin{array}{l}m=2(loại)\\m=-4(T M)\end{array}\right.$
Vậy `m=-4` thỏa đề bài
