`\hat{C}=100°`
`a)` $∆ABC$ cân tại $C$
`=>\hat{ABC}=\hat{BAC}={180°-\hat{ACB}}/2`
`={180°-100°}/2=40°`
+) $BD$ là phân giác `\hat{ABC}` (gt)
`=>\hat{ABD}=\hat{CBD}=1/ 2 \hat{ABC}=1/ 2 .40°=20°`
+) $BK$ là phân giác `\hat{CBD}` (gt)
`=>\hat{DBK}=\hat{CBK}=1/ 2 \hat{CBD}=1/ 2 .20°=10°`
+) `\hat{ABN}=\hat{ABD}+\hat{DBK}=20°+10°=30°`
Mà `\hat{BAN}=30°` (gt)
`=>\hat{ABN}=\hat{BAN}`
`=>∆ABN` cân tại $N$
`=>BN=AN`
$\\$
+) Xét $∆BCN$ và $∆ACN$ có:
`CN` là cạnh chung
`BC=AC` (do $∆ABC$ cân tại $C$)
`BN=AN` (c/m trên)
`=>∆BCN=∆ACN` (c-c-c)
`=>\hat{BCN}=\hat{ACN}` (hai góc tương ứng)
Mà tia $CN$ nằm giữa hai tia $CB$ và $CA$
`=>CN` là phân giác `\hat{ACB}`
`=>\hat{BCN}=1/ 2 \hat{ACB}=1/ 2 .100°=50°`
$\\$
+) `\hat{AMD}` là góc ngoài $∆ABM$
`=>\hat{AMD}=\hat{ABM}+\hat{BAM}=20°+30°=50°`
`=>\hat{AMD}=\hat{BCN}`
Mà `\hat{AMD}=\hat{BMN}` (hai góc đối đỉnh)
`=>\hat{BMN}=\hat{BCN}`
$\\$
Áp dụng tính chất tổng $3$ góc trong tam giác $180°$
+) Xét $∆BMN$ có:
`\hat{BMN}+\hat{BNM}+\hat{MBN}=180°`
+) Xét $∆BCN$ có:
`\hat{BCN}+\hat{BNC}+\hat{CBN}=180°`
Mà `\hat{BMN}=\hat{BCN}` (c/m trên)
`\qquad \hat{MBN}=\hat{CBN}` (do $BK$ là phân giác `\hat{CBD}`)
`=>\hat{BNM}=\hat{BNC}`
$\\$
+) Xét $∆BNM$ và $∆BNC$ có:
`\hat{MBN}=\hat{CBN}`
`BN` là cạnh chung
`\hat{BNM}=\hat{BNC}` (c/m trên)
`=>∆BNM=∆BNC` (g-c-g)
`=>MN=CN` (hai cạnh tương ứng)
`=>∆CMN` cân tại $N$
$\\$
Ta có:
`\hat{CEA}` là góc ngoài $∆ABE$
`=>\hat{CEA}=\hat{ABE}+\hat{BAE}=40°+30°=70°`
`=>\hat{CEN}=70°`
`\hat{CNM}` là góc ngoài $∆CEN$
`=>\hat{CNM}=\hat{CEN}+\hat{ECN}=70°+50°=120°`
$\\$
+) $∆CMN$ cân tại $N$
`=>\hat{CMN}=\hat{MCN}={180°-\hat{CNM}}/2={180°-120°}/2=30°`
$\\$
Ta có:
`\hat{BAM}+\hat{MAC}=\hat{BAC}=40°`
`=>\hat{MAC}=40°-\hat{BAM}=40°-30°=10°`
`\hat{CMN}` là góc ngoài $∆ACM$
`=>\hat{CMN}=30°=\hat{MAC}+\hat{ACM}`
`=>\hat{ACM}=30°-\hat{MAC}=30°-10°=20°`
Vậy `\hat{ACM}=20°`
$\\$
`b)` Ta có:
`\hat{CNE}+\hat{CNM}=180°` (hai góc kề bù)
`=>\hat{CNE}=180°-\hat{CNM}=180°-120°=60°`
Xét $∆CEN$ có:
`\hat{CEN}=70°` (câu a)
`\hat{CNE}=60°`
`=>\hat{CEN}>\hat{CNE}`
`=>CN>CE` (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)
Mà $∆CMN$ cân tại $N$ (câu a)
`=>MN=CN`
`=>MN>CE`
Vậy `MN>CE`
