Lời giải:
a) Ta có:
$\widehat{AKH} = \widehat{AIH} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tứ giác $AKHI$ có:
$\widehat{AKH} = \widehat{AIH} = \widehat{A} = 90^\circ$
Do đó: $AKHI$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow AH = IK$
b) Gọi $O$ là trung điểm $AH$
$\Rightarrow OA = OH = \dfrac12AH$
Gọi $N$ là giao điểm giữa $AM$ và $IK$
$\Rightarrow AN\perp IK$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$+)\quad \dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AC^2}$
$\Rightarrow AH = \dfrac{AB.AC}{\sqrt{AB^2 + AC^2}} = \dfrac{3.4}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{12}{5}$
$\Rightarrow AO = \dfrac65$
$+)\quad AH^2 = AK.AB$
$\Rightarrow AK = \dfrac{AH^2}{AB} = \dfrac{\dfrac{12}{5}}{3} = \dfrac45$
$+)\quad AH^2 = AI.AC$
$\Rightarrow AI = \dfrac{AH^2}{AC} = \dfrac{\dfrac{12}{5}}{4} = \dfrac{3}{5}$
$+)\quad \dfrac{1}{AN^2} = \dfrac{1}{AK^2} + \dfrac{1}{AI^2}$
$\Rightarrow AN = \dfrac{AK.AI}{\sqrt{AK^2 + AI^2}} = \dfrac{\dfrac45\cdot\dfrac35}{\sqrt{\dfrac{16}{25} + \dfrac{9}{25}}} = \dfrac{12}{25}$
Xét $ΔAON$ và $ΔAMH$ có:
$\begin{cases}\widehat{A}:\ \text{góc chung}\\\widehat{N} = \widehat{H} = 90^\circ\end{cases}$
Do đó: $ΔAON\backsim ΔAMH\, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AO}{AM} = \dfrac{AN}{AH}$
$\Rightarrow AM = \dfrac{AO.AH}{AN} = \dfrac{\dfrac65\cdot \dfrac{12}{5}}{\dfrac{12}{25}} = 6$
