Đáp án: $(x-1)^2+(y-3)^2=10$ hoặc $(x-\dfrac{29}{5})^2+(y-\dfrac{23}{5})^2=10$
Giải thích các bước giải:
Gọi $I(a,b)$ là tâm đường tròn
Vì $(I)$ tiếp xúc với $(d): x-3y-2=0, (d'): x-3y+18=0$ và $A\in (I)$
$\to d(I, d)=d(I, d')= IA$
$\to \begin{cases} d(I, d)=d(I, d')\\ d(I, d')= IA\end{cases}$
$\to \begin{cases} \dfrac{|a-3b-2|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}=\dfrac{|a-3b+18|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}\\ \dfrac{|a-3b+18|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}=\sqrt{(a-4)^2+(b-2)^2}\end{cases}$
$\to \begin{cases} |a-3b-2|=|a-3b+18|\\ \dfrac{|a-3b+18|}{\sqrt{10}}=\sqrt{(a-4)^2+(b-2)^2}\end{cases}$
Ta có $ |a-3b-2|=|a-3b+18|$
$\to a-3b-2=a-3b+18\to -2=18$ vô lý
$\to a-3b-2=-(a-3b+18)$
$\to a=3b-8$
Lại có:
$\dfrac{|a-3b+18|}{\sqrt{10}}=\sqrt{(a-4)^2+(b-2)^2}$
$\to \dfrac{|(3b-8)-3b+18|}{\sqrt{10}}=\sqrt{(3b-8-4)^2+(b-2)^2}$
$\to b\in\{3, \dfrac{23}{5}\}$
$\to I(1,3)$ hoặc $I(\dfrac{29}{5}, \dfrac{23}{5})$
$\to IA=\sqrt{10}$
$\to$Phương trình đường tròn là:
$(x-1)^2+(y-3)^2=10$ hoặc $(x-\dfrac{29}{5})^2+(y-\dfrac{23}{5})^2=10$
