Cho \(\Delta ABC\) có độ dài các cạnh là \(a,b,c.\) Giả sử rằng \(P=\frac{a}{-a+b+c}+\frac{b}{a-b+c}+\frac{c}{a+b-c}.\) Khi đó điều nào sau đây là đúng:
A.\(P\ge 3\) B.\(P=3\) khi và chỉ khi \(\Delta ABC\) đều
Đáp án đúng: D Giải chi tiết:Lời giải chi tiết. Đổi biến, ta đặt \(\left\{\begin{align} & x=-a+b+c \\ & y=a-b+c \\ & z=a+b-c \\ \end{align} \right..\) Khi đó ta có \(\left\{ \begin{align} & a=\frac{y+z}{2} \\ & b=\frac{z+x}{2} \\ & c=\frac{x+y}{2} \\ \end{align} \right..\) Thay biểu thức trên vào \(P\) ta được \(\begin{align}& P=\frac{\frac{y+z}{2}}{-\left( \frac{y+z}{2} \right)+\frac{x+z}{2}+\frac{x+y}{2}}+\frac{\frac{x+z}{2}}{\frac{y+z}{2}-\frac{x+z}{2}+\frac{x+y}{2}}+\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}-\frac{x+y}{2}} \\ & \,\,\,\,=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z} \\ & \,\,\,\,=\frac{1}{2}\left( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right)+\frac{1}{2}\left( \frac{x}{z}+\frac{z}{x} \right)+\frac{1}{2}\left( \frac{y}{z}+\frac{z}{y} \right)\,\,\left( 1 \right). \\ \end{align}\) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ \(\left( \frac{x}{y},\frac{y}{x} \right),\left( \frac{x}{z},\frac{z}{x} \right),\left( \frac{y}{z},\frac{z}{y} \right)\) ta nhận được \(\left\{ \begin{align}& \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2 \\ & \frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge 2\sqrt{\frac{x}{z}.\frac{z}{x}}=2 \\ & \frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge 2\sqrt{\frac{y}{z}.\frac{z}{y}}=2 \\ \end{align} \right.\,\,\left( 2 \right).\) Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta nhận được \(P\ge \frac{1}{2}.2+\frac{1}{2}.2+\frac{1}{2}.2=3.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{\begin{align} & \frac{x}{y}=\frac{y}{x} \\ & \frac{x}{z}=\frac{z}{x} \\ & \frac{y}{z}=\frac{z}{y} \\ & x,y,z>0 \\ \end{align} \right.\,\,\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c.\) Vậy đáp án A, B đều đúng. Chọn đáp án D.