Ta có :
$n^5-n$
$=n\left(n^4-1\right)$
$=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)$ $=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left[\left(n^2-4\right)+5\right]$
= $n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)$
$= \left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)$
Vì $\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n-1\right)\left(n+1\right)$ là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 55(n-1)n(n+1) luôn chia hết cho 5 , với mọi n€ Z$ Vậy n^5 - n ⋮5 với mọi n €Z$