Đáp án: $S=\{2020;2021\}$
Giải thích các bước giải:
Xét các trường hợp:
-Nếu $x>2021⇒x-2020>1>0$
$⇒|x-2020|>1$
$⇒|x-2020|^7>1(1)$
Do $x>2021⇒x-2021>0$
$⇒|x-2021|>0$
$⇒|x-2021|^9>0(2)$
Từ $(1);(2)⇒|x-2020|^7+|x-2021|^9>1+0=1$
$⇒x>2021$ (loại)
-Nếu $x<2020⇒x-2021<-1<0$
$⇒|x-2021|>1$
$⇒|x-2021|^9>1(3)$
Do $x<2020⇒x-2020<0$
$⇒|x-2020|>0$
$⇒|x-2020|^7>0(4)$
Từ $(3);(4)⇒|x-2020|^7+|x-2021|^9>0+=1$
$⇒x<2020$ (loại)
-Nếu $2020≤x≤2021$
$⇒\begin{cases}x-2020≥0\\x-2021≤0\end{cases}⇒\begin{cases}|x-2020|=x-2020\\|x-2021|=2021-x\end{cases}$
Khi đó: $|x-2020|^7+|x-2021|^9$
$≤|x-2020|+|x-2021|$
$=x-2020+2021-x=1$
Dấu bằng xảy ra
$⇔\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}|x-2020|=1\\|x-2021|=0\end{cases}\\\begin{cases}|x-2020|=0\\|x-2021|=1\end{cases}\end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x-2020=1\\x-2021=0\end{cases}\\\begin{cases}x-2020=0\\2021-x=1\end{cases}\end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l}x=2021\\x=2020\end{array} \right.(tm)$
Như vậy phương trình có $2$ nghiệm $2020;2021$ và đây chính là điều phải chứng minh.
