`2)` Ta có `\hat{ACB}=\hat{AEB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét $∆AHI$ và $∆ACB$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad \hat{AHI}=\hat{ACB}=90°`
`=>∆AHI∽∆ACB` (g-g)
`=>{AH}/{AC}={AI}/{AB}`
`=>AI.AC=AH.AB` $(1)$
$\\$
Xét $∆AEB$ và $∆IHB$ có:
`\qquad \hat{B}` chung
`\qquad \hat{AEB}=\hat{IHB}=90°`
`=>∆AEB∽∆IHB` (g-g)
`=>{BE}/{BH}={AB}/{IB}`
`=>BI.BE=BH.AB` $(2)$
Từ `(1);(2)`
`=>AI.AC+BI.BE=AH.AB+BH.AB`
`=AB.(AH+BH)=AB.AB=AB^2`
`=(2R)^2=4R^2` không đổi
Vậy `AI.AC+BI.BE=4R^2` không đổi
$\\$
`3)` Vì $OC\perp AB$
`=>∆OAC` vuông tại $O$
Mà `OA=OC=R`
`=>∆OAC` vuông cân tại $O$
`=>\hat{CAO}=45°`
`=>\hat{IAH}=\hat{CAB}=45°`
$\\$
Xét tứ giác $AEIH$ có:
`\hat{AEI}+\hat{AHI}=90°+90°=180°`
Mà `\hat{AEI};\hat{AHI}` ở vị trí đối nhau
`=>AEIH` nội tiếp
`=>\hat{IEH}=\hat{IAH}=45°` (cùng chắn cung $IH$)
$\\$
Vì `ABCE` nội tiếp nửa $(O)$
`=>\hat{CEB}=\hat{CAB}=45°` (cùng chắn cung $BC$ của nửa $(O)$)
Ta có:
`\hat{CEH}=\hat{CEB}+\hat{IEH}=45°+45°=90°`
`=>HE`$\perp CE$
$\\$
Vì `\hat{CEH}+\hat{COH}=90°+90°=180°`
Mà `\hat{CEH};\hat{COH}` ở vị trí đối nhau
`=>CEHO` nội tiếp
`=>C;E;H;O` cùng thuộc đường tròn đường kính $CH$, tâm $M$ là trung điểm của $CH$
Vẽ $MN\perp OC$ tại $N$
$\\$
Xét $∆CHO$ có:
$\quad MN$//$HO$ (vì cùng vuông góc $OC$)
$\quad M$ là trung điểm $CH$
`=>N` là trung điểm $OC$
`=>MN` là đường trung trực của $OC$
Vì $OC$ cố định nên $N$ cố định
`=>` Đường trung trực của $OC$ cố định
Vậy tâm $M$ của đường tròn ngoại tiếp $∆CEH$ nằm trên đường thẳng cố định là trung trực của $OC$ khi $K$ di động trên cung $AC$
