Đáp án:
`m=1/ 2`
Giải thích các bước giải:
`b)` Phương trình hoành độ giao điểm của `(P)y=1/ 2x^2` và `(d)y=2mx+4` là:
`\qquad 1/2x^2=2mx+4`
`<=>x^2=4mx+8`
`<=>x^2-4mx-8=0`
Ta có: `a=1;b=-2m;c=-8`
`=>ac=1.(-8)=-8<0`
`=> ` Phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu `x_1;x_2`
`=>(d)` luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1;x_2$
$\\$
Theo hệ thức Viet ta có:
$\quad \begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=4m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-8\end{cases}$
Với mọi `x_1;x_2` ta có:
`\qquad (\sqrt{|x_1|}-\sqrt{|2x_2|})^2\ge 0`
`<=>|x_1|+|2x_2|-2\sqrt{|x_1|.|2x_2|}\ge 0`
`<=>|x_1|+2|x_2|\ge 2\sqrt{|2x_1x_2|}`
`<=>|x_1|+2|x_2|\ge 2\sqrt{|2.(-8)|}=2\sqrt{16}=8`
Dấu "=" xảy ra `<=>|x_1|+2|x_2|=8` khi `|x_1|=2|x_2|`
`=>`$\left[\begin{array}{l}x_1=2x_2\ (loại\ vì \ x_1;x_2\ trái\ dấu)\\x_1=-2x_2\end{array}\right.$
`=>x_1=-2x_2`
$\\$
Vì `x_1+x_2=4m`
`<=>-2x_2+x_2=4m`
`<=>-x_2=4m`
`<=>x_2=-4m`
`=>x_1=-2x_2=-2.(-4m)=8m`
$\\$
Vì `x_1x_2=-8`
`<=>-4m.8m=-8`
`<=>m^2=1/ 4`
`<=>`$\left[\begin{array}{l}m=\dfrac{1}{2}\\m=\dfrac{-1}{2}\end{array}\right.$
Vì `m` dương nên `m=1/ 2`
Vậy `m=1/ 2` thỏa đề bài
