Đáp án: `M_{min}=\frac{25}{6}⇔a=b=\frac{3}{4}`
Giải thích các bước giải:
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau: Với $x;y>0:\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}≥\dfrac{4}{x+y}(*)$
Chứng minh:
$(*)⇔\dfrac{x+y}{xy}≥\dfrac{4}{x+y}$
$⇔(x+y)^2≥4xy$
$⇔x^2+y^2+2xy≥4xy$
$⇔x^2+y^2-2xy≥0$
$⇔(x-y)^2≥0$ (luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra $⇔x=y$
Trở lại bài toán:
Áp dụng bất đẳng thức $(*)$ kết hợp với bất đẳng thức Cauchy, ta có:
`M=a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}`
`≥a+b+\frac{4}{a+b}`
`=(a+b+\frac{9}{4(a+b)})+\frac{7}{4(a+b)}`
$≥2\sqrt{(a+b).\dfrac{9}{4(a+b)}}+\dfrac{7}{4.\dfrac{3}{2}}$
`=2.\frac{3}{2}+\frac{7}{6}`
`=\frac{25}{6}`
Dấu bằng xảy ra
$⇔\begin{cases}a=b\\a+b=\dfrac{9}{4(a+b)}\\a+b=\dfrac{3}{2}\end{cases}⇔a=b=\dfrac{3}{4}$
