Đáp án:Sau bạn chia nhỏ ra để nhận được câu trả lời.Để dài như này thì không ai làm đou.....
Giải thích các bước giải:
`a)\sqrt{(a+b)/2}>=(\sqrt{a}+\sqrt{b})/2`
`<=>(a+b)/2>=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2/4`
`<=>2(a+b)>=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2`
`<=>2a+2b>=a+b+2\sqrt{ab}`
`<=>a-2\sqrt{ab}+b>=0`
`<=>(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2>=0` luôn đúng
Dấu "=" xảy ra khi `\sqrt{a}=\sqrt{b}<=>a=b`
`b)a+1/a>=2`
`<=>a-2+1/a>=0`
`<=>(\sqrt{a}-\sqrt{1/a})^2>=0` luôn đúng
Dấu "=" xảy ra khi `\sqrt{a}=\sqrt{1/a}<=>a=1`
`c)\sqrt{x}/\sqrt{y}+\sqrt{y}/\sqrt{x}>=2`
`<=>\sqrt{x}/\sqrt{y}-2+\sqrt{y}/\sqrt{x}>=0`
`<=>(\root{4}{x/y}-\root{4}{y/x})^2>=0` luôn đúng
Dấu "=" xảy ra khi `\root{4}{x/y}=\root{4}{y/x}<=>x=y`
`d)` Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương ta có:
`ab+1>=2\sqrt{ab}`
`=>1/(ab+1)<=1/(2\sqrt{ab}`
`=>(4ab)/(ab+1)<=(4ab)/(2\sqrt{ab})=2\sqrt{ab}`
Mặt khác:`a+b>=2\sqrt{ab}` theo bất đẳng thức cosi
`=>a+b>=(4ab)/(ab+1)`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b=1`
`e)a/b+b/c+c/a>=3`
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 3 số dương ta có:
`a/b+b/c+c/a>=3\root{3}{a/b*b/c*c/a}=3`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c.`
`f)a+b+c>=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}`
`<=>2a+2b+2bc>=2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}`
`<=>a-2\sqrt{ab}+b+b-2\sqrt{bc}+c+c-2\sqrt{ca}+a>=0`
`<=>(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2+(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2>=0` luôn đúng.
Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c.`
