Giải thích các bước giải:
Bất đẳng thức tương đương với:
$$\frac{c(a+b)+ab}{b(b+a)}+\frac{a(b+c)+bc}{c(c+b)}+\frac{b(c+a)+ca}{a(a+c)} \ge \frac{9}{2}$$
$$⇔\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \ge \frac{9}{2}$$
$$⇔\frac{c+b}{b}+\frac{b+a}{a}+\frac{a+c}{c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \ge \frac{15}{2}$$
Theo bất đẳng thức $AM-GM$:
$$\frac{a+b}{4a}+\frac{a}{a+b} \ge 1$$
$$\frac{b+c}{4b}+\frac{b}{b+c} \ge 1$$
$$\frac{a+c}{4c}+\frac{c}{c+a} \ge 1$$
Do đó: $$\frac{a+b}{4a}+\frac{a}{a+b} +\frac{b+c}{4b}+\frac{b}{b+c} +\frac{a+c}{4c}+\frac{c}{c+a} \ge 3$$
Mặt khác cũng theo bất đẳng thức $AM-GM$:
$$\frac{3}{4}(\frac{a+b}{a}+\frac{b+c}{b}+\frac{c+a}{c})+\frac{3}{4}(3+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}) \ge \frac{9}{2}$$
Cộng hai vế lại với nhau và ta thu được điều phải chứng minh.
