Trong không gian Oxyz, cho hình nón có đỉnh \(I\) thuộc mặt phẳng \((P):2x - y - 2z - 7 = 0\) và hình tròn đáy nằm trên mặt phẳng \((R):2x - y - 2z + 8 = 0\). Mặt phẳng \((Q)\) đi qua điểm \(A(0; - 2;0)\) và vuông góc với trục của hình nón chia hình nón thành hai phần có thể tích

doxuanthanh0707qn

2 năm trước

Trong không gian Oxyz, cho hình nón có đỉnh \(I\) thuộc mặt phẳng \((P):2x - y - 2z - 7 = 0\) và hình tròn đáy nằm trên mặt phẳng \((R):2x - y - 2z + 8 = 0\). Mặt phẳng \((Q)\) đi qua điểm \(A(0; - 2;0)\) và vuông góc với trục của hình nón chia hình nón thành hai phần có thể tích lần lượt là \({V_1}\;\)và \({V_2}\) ( \({V_1}\) là thể tích của phần chứa đỉnh \(I\)). Biết rằng biểu thức \(S = {V_2} + \dfrac{{78}}{{V_1^3}}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \({V_1} = a,\;\;{V_2} = b.\;\)Khi đó tổng \({a^2} + {b^2}\) bằng
A.\(2031{\pi ^2}.\)
B.\(377\sqrt 3 .\)
C.\(52\sqrt 3 {\pi ^2}.\)
D.\(2031.\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 47 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

doxuanthanh0707qn

Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:
Dễ thấy \(\left( P \right)//\left( R \right)\) , do đó \(IH = d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right)\).
Lấy \(B\left( {0; - 7;0} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow d\left( {\left( P \right);\left( R \right)} \right) = d\left( {B;\left( R \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.0 - \left( { - 7} \right) - 2.0 + 8 = 0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 5\).
\( \Rightarrow IH = 5\).
Mặt phẳng \((Q)\) đi qua điểm \(A(0; - 2;0)\) và vuông góc với trục của hình nón \( \Rightarrow \left( Q \right)//\left( P \right)\).
\( \Rightarrow \left( Q \right):\,\,2x - y - 2z - 2 = 0\).
\(d\left( {B;\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.0 - \left( { - 7} \right) - 2.0 - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \dfrac{5}{3} = IM\).
Gọi \({R_1};R\) lần lượt là bán kính của hình nón có thể tích \({V_1}\) và khối nón to.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{{R_1}}}{R} = \dfrac{{IM}}{{IH}} = \dfrac{{\dfrac{5}{3}}}{5} = \dfrac{1}{3}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}\pi R_1^2.IM}}{{\dfrac{1}{3}\pi {R^2}.IH}} = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{{27}} \Rightarrow {V_1} = \dfrac{V}{{27}} \Rightarrow {V_2} = 26{V_1}\).
Ta có: \(S = {V_2} + \dfrac{{78}}{{V_1^3}} = 26{V_1} + \dfrac{{78}}{{V_1^3}} = \dfrac{{26{V_1}}}{3} + \dfrac{{26{V_1}}}{3} + \dfrac{{26{V_1}}}{3} + \dfrac{{78}}{{V_1^3}} \ge 4\sqrt[4]{{\dfrac{{{{26}^3}.78}}{{{3^3}}}}} = \dfrac{{104\sqrt 3 }}{3}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{{26{V_1}}}{3} = \dfrac{{78}}{{V_1^3}} \Leftrightarrow V_1^4 = 9 \Leftrightarrow {V_1} = \sqrt 3 = a;\,\,{V_2} = 26\sqrt 3 = b\)
\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {26\sqrt 3 } \right)^2} = 2031\).
Chọn D.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Tổng các nghiệm của phương trình \({\log _2}\cos x = 2{\log _3}\cot x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;20]\) bằng
A.\(7\pi \)
B.\(13\pi \)
C.\(\dfrac{{40\pi }}{3}\)
D.\(\dfrac{{70\pi }}{3}\)

Cho đa thức biến x có dạng \(f(x) = {x^4} + 2a{x^3} + 4b{x^2} + 8cx + 16d\;\;\;(a,b,c,d \in \mathbb{R})\) thỏa mãn \(f(4 + i) = f( - 1 - i) = 0.\) Khi đó \(a + b + c + d\)bằng
A.\(34.\)
B.\(\dfrac{{17}}{8}.\)
C.\(\dfrac{{17}}{5}.\)
D.\(\dfrac{{25}}{8}.\)

Trong không gian \({\rm{Ox}}yz\), mặt phẳng \(Oyz\) có phương trình là
A.\(x = 0\)
B.\(z = 0\)
C.\(x + y + z = 0\)
D.\(y = 0\)

Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x}}{{x - 1}}\) có đồ thị là \((C)\). Tìm tập hợp tất cả các giá trị của \(a \in R\) để qua điểm \(M(0;a)\) có thể kẻ được đường thẳng cắt \((C)\) tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm \(M\).
A.\(( - \infty ; - 1] \cup {\rm{[3}}; + \infty )\)
B.\((3; + \infty )\)
C.\(( - \infty ;0)\)
D.\(( - \infty ;0) \cup (2; + \infty )\)

Trong không gian \({\rm{Ox}}yz\), mặt phẳng \((P):\,x + y - 3z = 5\) đi qua điểm nào dưới đây?
A.\(P(1; - 2; - 2)\)
B.\(M( - 1; - 2; - 2)\)
C.\(N(1;2; - 2)\)
D.\(Q(1; - 2;2)\)

Gọi \({z_1}\)và \({z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(2{z^2} - 3z + 12 = 0\). Khi đó \({z_1} + {z_2}\) bằng
A.\(\dfrac{3}{2}.\)
B.\( - \dfrac{3}{4}.\)
C.\( - \dfrac{3}{2}.\)
D.\(\dfrac{3}{4}.\)

Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\log _2}\left( {2 - \sqrt x } \right)\).
A.\(D = \left[ {0;4} \right]\).
B.\(D = \left[ {0;4} \right).\)
C.\(D = \left( { - \infty ;4} \right)\).
D.\(D = \left( {0;4} \right)\).

Trong không gian \({\rm{Ox}}yz\), cho điểm \(A(5; - 2;1)\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) lên trục \({\rm{Oy}}\) là điểm
A.\(M(0; - 2;1)\)
B.\(M(0;2;0)\)
C.\(M( - 5; - 2; - 1)\)
D.\(M(0; - 2;0)\)

Bất phương trình \({\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)^{1 - \cos x}} \ge 1\) có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn \({\rm{[}}0;1000{\rm{]}}\)?
A.Vô số.
B.\(159.\)
C.\(160.\)
D.\(158.\)

Biết rằng đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây. Hỏi đó là đồ thị của hàm số nào?
A.\(y = - {x^4} + 2{x^2}\).
B.\(y = - {x^3} + 2{x^2}\).
C.\(y = - {x^4} - 2{x^2}\).
D.\(y = {x^4} - 2{x^2}\).

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến