Đáp án:

$x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$; $x + \dfrac{\pi }{4} =  \pm \arccos \left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Giải thích các bước giải:

 ĐKXĐ: $x \ne \dfrac{k\pi}{2}$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\cot x - \tan x = \sin x + \cos x\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} - \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} = \sin x + \cos x\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{\sin x.\cos x}} = \sin x + \cos x\\
 \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 + \dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x.\cos x}}} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x + \cos x = 0\\
\dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x.\cos x}} =  - 1
\end{array} \right.
\end{array}$

+) TH1: 

$\begin{array}{l}
\sin x + \cos x = 0\\
 \Leftrightarrow \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\
 \Leftrightarrow x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi 
\end{array}$

+) TH2: $\dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x.\cos x}} =  - 1(1)$

Ta đặt ${t = \sin x - \cos x\left( {\left| t \right| \le \sqrt 2 } \right)}$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow {t^2} = {\sin ^2}x - 2\sin x.\cos x + {\cos ^2}x = 1 - 2\sin x.\cos x\\
 \Rightarrow \sin x.\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}
\end{array}$

(1) trở thành:

$\begin{array}{l}
\dfrac{t}{{\dfrac{{1 - {t^2}}}{2}}} =  - 1\\
 \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 1 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1 + \sqrt 2\text { (loại)} \\
t = 1 - \sqrt 2 \text{ (chọn)}
\end{array} \right.
\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\sin x - \cos x = 1 - \sqrt 2 \\
 \Leftrightarrow \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\
 \Leftrightarrow x + \dfrac{\pi }{4} =  \pm \arccos \left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + k\pi\text{ (thỏa mãn)}
\end{array}$

Vậy phương trình có các họ nghiệm là: 

$x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$; $x + \dfrac{\pi }{4} =  \pm \arccos \left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)$